Atli Harðarson
STÆRÐFRÆÐI OG ALMENN MENNTUN

1. ALMENN MENNTUN

Sérhvert samfélag hefur einhvers konar viðmið eða viðteknar hugmyndir um hvaða kunnátta, þekking eða hæfni felist í almennri menntun og hvaða menntunarkröfur skuli gera til fólks. Slík viðmið eða hugmyndir eru, ásamt sameiginlegu tungumáli, sögu og ríkisvaldi, meðal þess sem gerir þjóð að samstæðri heild. Við getum ef til vill skilgreint almenna lágmarksmenntun sem þá vitneskju, skilning, hæfni og kunnáttu sem samfélagið krefst af hverjum manni og mönnum þykir til minnkunnar að vera án.

En almenn menntun er ekki bara lágmarksmenntun. Stundum er orðasambandið notað sem einhvers konar andstæða sérmenntunar og talað um góða almenna menntun. Þá er átt við töluvert meiri menntun en hægt er að krefjast af öllum þorra fólks. Menn segja til dæmis að stúdentspróf veiti góða almenna menntun og við skulum vona að það sé rétt. Með þessu er hvorki sagt að samfélagið krefjist þess að allir ljúki stúdentsprófi né að það sé skammarlegt að vera án þess. Í samræmi við þetta getum við skilgreint góða almenna menntun sem vitneskju, skilning, hæfni og kunnáttu sem er ætlast til eða talið æskilegt að allir menntaðir menn hafi á valdi sínu.

Hér á landi telst það væntanlega hluti af góðri almennri menntun að kannast við Egil Skallagrímsson og Gretti sterka, kunna mannganginn í skák, þekkja algengar fuglategundir, geta farið með nokkur kvæði og vísur utan bókar, vita nokkurn veginn hvað þróunarkenning Darwins gengur út á og vera læs á fleiri mál en íslensku.

Ýmis önnur kunnátta er ekki talin eins almenn. Til dæmis er ekki gert ráð fyrir því að menntaður almenningur kunni að sanna Pýþagórasarreglu, stilla hljóðfæri eða brugga krækiberjalíkjör. Þessi kunnátta er talin vera fyrir fremur fámennan hóp og ýmislegt annað, eins og að búa til verkjalyf úr jurtum, gera við bilað sjónvarpstæki og vita heiti á amínósýrum er talið vera fyrir sérfræðinga eina.

En hver er þáttur stærðfræðinnar í almennri menntun? Hvað þarf maður að kunna í stærðfræði til að teljast hafa góða almenna menntun?
 

2. STÆRÐFRÆÐI Í SKÓLUM

Ef litið er til þess hve skólakerfið gerir stærðfræði hátt undir höfði má ætla að hún sé hreint ekki svo lítill hluti af almennri menntun. Almenningi virðist þó ekkert athugavert við hámenntaðan mann sem kann ekki að þátta annars stigs margliðu, hefur ekki hugmynd um hvað diffurkvóti er og gerir sér enga grein fyrir tilveru óræðra talna. Þetta bendir til að stærðfræði, umfram það algera lágmark sem fólk þarf að nota í daglegu lífi, hafi ekki náð að verða hluti almennrar menntunar, að minnsta kosti ekki hér á landi.

Sú stærðfræði sem þorri fólks þarf að nota í daglegu lífi er ósköp lítil. Menn þurfa að kunna reikniaðgerðirnar fjórar, ráða við hlutfalla- og prósentureikning, þekkja metrakerfið, kunna einfaldan flatarmáls og rúmmálsreikning og hafa einhverja nasasjón af lýsandi tölfræði. Allur þorri fólks þarf á þessari stærðfræði að halda en kemst ágætlega af án þess að kunna neitt meira.

Vegna notagildis síns telst þessi einfalda stærðfræði vera hluti af almennri lágmarksmenntun. Með þessu er alls ekki sagt að allir kunni hana. Það skortir því miður mikið á að svo sé. Samt er hún hluti af almennri lágmarksmenntun því það er hverjum fullorðnum manni til minnkunnar að kunna hana ekki. Um það hvaða stærðfræði er innifalin í almennri lágmarksmenntun hef ég lítið meira að segja. Vil þó bæta því við að sennilega er menntun almennings ekki eins áfátt á neinu öðru sviði og engar umbætur í skólamálum nauðsynlegri en að bæta þar úr.

Þetta var um stærðfræði og almenna lágmarksmenntun. En hvað um góða almenna menntun? Hversu mikið á menntaður maður að kunna í stærðfræði? Af námskrá íslenskra framhaldsskóla má ráða að menntuðu fólki sé ætlað að kunna nokkuð í algebru, frumatriði um hnitakerfi, hornafallareikning og dálitla rúmfræði. Það er sama hvort nemandi ætlar að verða fóstra eða fjölmiðlafræðingur, múrari eða meinatæknir, læknir eða lögfræðingur, hann skal að minnsta kosti taka próf úr þessu efni. Flestir sem afla sér framhaldsmenntunar þurfa raunar að læra töluvert meira, svo sem tölfræði og inngang að diffur- og tegurreikningi.

Námskráin virðist semsagt gera ráð fyrir því að menntaðir menn kunni töluvert í stærðfræði. Samt er ekki talið neitt athugavert við það að hámenntað fólk kunni sama og enga stærðfræði umfram þá sem öllum er nauðsynleg. Hér er mikið ósamræmi milli þeirrar kröfu sem skólarnir gera og þess sem almenningsálitið krefst. Þetta ósamræmi á sér að minnsta kosti tvær skýringar.

Önnur skýringin er sú að meirihluti nemenda nær litlu sem engu valdi á þeirri stærðfræði sem kennd er í framhaldsskólum og lítur svo á að hún sé svo erfið að aðeins fáeinir útvaldir geti tileinkað sér hana. Í augum flestra eru stærðfræðilegar útleiðslur álíka óskiljanlegar og egypskt myndletur. Þetta viðhorf kemur í veg fyrir að stærðfræðin verði sameign allra menntaðra manna.

Hin skýringin er að menn álíta að stærðfræði hafi eingöngu notagildi en sé sneydd því menningar- og menntagildi sem þekking á listum, sögu eða náttúrufræði hefur. Mörgum finnst því að stærðfræði sem nýtist ekki með beinum hætti í lífsbaráttunni, þ.e. öll stærðfræði umfram það lágmark sem fyrr er getið, sé einskis virði.

Þessar tvær skýringar tengjast svo saman því þeir sem ná aldrei neinu valdi á stærðfræði kynnast því ekki hve skemmtileg hún er og læra því ekki að meta hana að verðleikum.
 

3. Á AÐ KENNA SVONA MIKLA STÆRÐFRÆÐI?

Árangur af stærðfræðikennslu í framhaldsskólum er sorglega lítill og sú spurning hlýtur að vakna hvort ekki sé réttast að draga úr henni og nýta tímann fyrir aðrar námsgreinar. Hvað á að kenna framhaldsskólanemum mikla stærðfræði?

Ég þarf varla að rökstyðja sérstaklega að nemendur á eðlisfræði-, tækni-, náttúru- og hagfræðibrautum eigi að læra mun meiri stærðfræði en þá sem notuð er í daglegu lífi. Það þarf heldur ekki að rökstyðja að nemendur sem hafa gaman af stærðfræði eigi að fá að læra sem mest af henni. Hvort tveggja er augljóst. Það er líka augljóst að allir verða að læra þá stærðfræði sem er nauðsynleg í daglegu lífi. Nemendur sem koma inn í framhaldsskóla og kunna ekki einfaldan talnareikning verða að læra hann. Hér gæti ég bætt inn löngum útúrdúr um vanda þeirra unglinga sem kunna ekki margföldunartöfluna en eru settir í að læra algebru með þeim afleiðingum að þeir missa alla trú á að þeir geti nokkurn tíma lært neina stærðfræði og gefast upp. En ég læt það eiga sig.

Við vitum semsagt nokkurn veginn hvaða stærðfræði það er sem allir þurfa að kunna og við vitum líka hvaða stærðfræði þarf að kenna þeim sem hyggja á sérhæft nám í hagfræði, tækni- og raungreinum. Það er hins vegar óljóst hversu mikla stærðfræði á að kenna til dæmis iðnnemum og þeim sem hyggja á langskólanám í greinum eins og lögfræði, bókmenntum, guðfræði eða tungumálum. Þurfa þessir nemendur að læra að finna hallatölur og beygjuskil eða þurfa þeir kannski ekki að læra meiri stærðfræði en kennd er í grunnskólum?

Eins og er læra svo til allir framhaldsskólanemar fyrstu efnisatriðin í þeirri stærðfræði sem stúdentar af eðlisfræðibraut þurfa að kunna til að geta hafið nám við verkfræði- og raunvísindadeildir háskóla. Þarfir þessara háskóladeilda stjórna því hvaða stærðfræði er borin á borð fyrir þann fámenna hóp nemenda sem lærir mikla stærðfræði. Hinir fá svo nokkra auðmelta mola af þeim borðum. Undantekningar frá þessu eru tölfræðiáfangar sem eru einkum ætlaðir nemendum á félagsfræðabrautum.

Þetta fyrirkomulag hefur að minnsta kosti eitt til síns ágætis sem er að nemendur geta með tiltölulega hægu móti skipt um braut eftir eitt eða jafnvel tvö námsár. Mála- eða félagsfræðabrautarnemi getur hoppað yfir á náttúru-, hagfræði- eða eðlisfræðibraut eftir eitt námsár og staðið jafnfætis þeim sem þar eru fyrir í stærðfræði. Iðnnemi getur líka skipt yfir á bóknámsbraut og honum nýtast þar þeir stærðfræðiáfangar sem hann er búinn að taka.

Nemendur geta semsagt skipt úr námi í grein sem krefst lítillar stærðfræðikunnáttu yfir í grein sem krefst mikillar stærðfræðikunnáttu án þess að endurtaka fyrsta árs námsefnið. Þetta á þó aðeins við um fyrsta árs námsefnið eða fyrstu 6 einingarnar. Eftir það skilja leiðir og nemendur sem hyggja á langt stærðfræðinám taka aðra og erfiðari áfanga en hinir. En ef eina ástæða þess að nemendur á þessum brautum eru látnir læra stærðfræði er sú að annars gætu þeir ekki skipt yfir á raungreinabrautir þá er engin ástæða til að skylda þá til að taka aðra stærðfræðiáfanga en þá sem eru sameiginlegir flestum brautum.

Nú kunna einhverjir að hugsa sem svo að ekki megi einblína á framhaldsskóla og hugsanlegt flakk nemenda milli brauta innan hans. Einnig verði að taka tillit til þess að nokkur hluti nemenda endurskoðar námsáætlanir sínar eftir að framhaldsskóla lýkur. Getur ekki gerst að máladeildarneminn sem ætlaði að læra bókmenntir hætti við í þann mund sem hann innritast í háskóla og ákveði að fara heldur í viðskiptafræði? Er þá ekki ágætt fyrir hann að kunna svolítið meiri stærðfræði en þá sem kennd er á fyrsta ári framhaldsskólans? Jú vissulega. En við megum samt ekki hrapa að þeirri niðurstöðu að þetta réttlæti að öllum stúdentsefnum sé kennd nægileg stærðfræði til að þau geti með góðu móti hafið nám við flestar eða allar deildir háskóla. Það kostar nefnilega heilmikið, ekki bara í peningum, heldur líka í námsárangri, að halda öllum möguleikum opnum fyrir alla og við þurfum einfaldlega að spyrja hvort það sé þess virði. Auk þess er varasamt að gera of mikið af því að réttlæta kennsluna fyrir nemendum sem vildu heldur læra eitthvað annað með því að segja þeim að þeir gætu átt eftir að skipta um skoðun.

Þau rök að allir framhaldsskólanemar þurfi að læra stærðfræði til þess að þeir geti flakkað milli brauta duga að mínu viti ekki til að réttlæta jafnmikla stærðfræðikennslu og námsskráin gerir ráð fyrir þótt þau geti ef til vill réttlætt að fyrstu 6 einingarnar séu sameiginlegar eða með öðrum orðum að öllum sé gert að læra sömu stærðfræði á fyrsta námsári. En eru ekki einhver önnur rök til sem mæla með því að öllum stúdentsefnum að minnsta kosti sé gert að læra meiri stærðfræði?

Jú, til dæmis hefur verið bent á að vegna notagildis stærðfræðinnar sé mikilvægt fyrir samfélagið að viðhalda sem mestri kunnáttu í henni.

Í öðru lagi má ef til vill réttlæta alla þessa stærðfræðikennslu með því að sýna fram á að hún hafi ekki aðeins notagildi heldur líka menntagildi því menn botni ekkert í umhverfi sínu nema þeir kunni töluverða stærðfræði.

Í þriðja lagi er því haldið fram að stærðfræði efli rökrétta hugsun og mikil stærðfræðikennsla auki því líkurnar á að menn hugsi skynsamlega um alls konar efni önnur en stærðfræði og taki jafnvel að hegða sér viturlega.

Í því sem á eftir fer ætla ég að skoða þessi þrenns konar rök og sýna fram á að þótt þau séu ef til vill ekki alveg úr lausu lofti gripin þá réttlæti þau ekki stærðfræðikennslu af því tagi sem þorra framhaldsskólanema er boðið upp á.
 

4. HAGNÝTI OG MENNTAGILDI

Það er samfélaginu nauðsynlegt að til sé all nokkur hópur manna sem kann mikið í stærðfræði. Þótt flest fólk þurfi ekki að nota mikla stærðfræði þá kann að vera gagnlegt að viðhalda mikilli almennri kunnáttu í greininni til þess að auka líkur á að nógu margir komist langt, verði sérfræðingar í stærðfræðilegum vísindum. Afburða tónlistarmenn eru líkegri til að koma fram þar sem mikið er um söng og hljóðfæraleik meðal almennings heldur en þar sem aldrei heyrist tónlist nema úr útvörpum og hljómflutningstækjum. Því skyldi ekki eitthvað svipað eiga við um stærðfræðina?

Það kann að vera töluvert til í þessum rökum. Ef meira væri um að fólk ræddi um stærðfræði, skemmti sér við stærðfræðiþrautir, bækur um stærðfræði væru til á flestum heimilum, sjónvarpið sýndi fræðsluþætti um stærðfræði og svo framvegis þá næðu sjálfsagt fleiri unglingar góðum árangri í greininni og fleiri legðu stund á stærðfræðilegar vísindagreinar í háskóla. Ef stærðfræði væri, í vitund fólks, hluti almennrar menntunar á sama hátt og saga eða landafræði þá gengi fleirum vel að læra hana.

Því miður virðist stærðfræðikennsla í framhaldsskólum ekki hafa þessi áhrif. Hún hefur hingað til ekki dugað til þess að gera aðra stærðfræði en einfaldasta reikning að hluta almennrar menntunar. Hér gætu skólarnir ef til vill bætt úr. Ef þeir kenndu þeim sem hvorki eru á hagfræði- né raungreinabrautum stærðfræði sem fólk væri líklegt til að hafa fyrir börnum sínum og nota til skemmtunar þá tækist ef til vill að hafa einhver áhrif í þessa átt.

Ef þetta eiga að vera aðalrökin fyrir því að kenna öllum meiri stærðfræði en þeir hafa bein not fyrir þá er líklega ástæða til að gerbreyta stærðfræðikennslu á öllum brautum framhaldsskóla nema ef til vill raungreina- og hagfræðibrautum.

Nú skulum við líta á næstu rök, sem eru þau að stærðfræði hafi menntagildi því menn botni ekkert í nútímasamfélagi og þeirri veröld sem þeir tilheyra nema þeir kunni töluvert í henni.

Síðastliðin 300 ár hefur stærðfræðin farið sigurför um heiminn. Í vísindabyltingunni á 17. öld hófu Galíleó, Descartes, Hobbes, Leibniz, Newton og fleiri hana til æðstu metorða og gerðu hana að drottningu hinna nýju vísinda. Síðan hefur hún verið að færa út ríki sitt og hefur nú náð ítökum í hagfræði, félagsvísindum, málvísindum, stjórnmálum, tækni, boðskiptum og meðferð upplýsinga. Nú er svo komið að hún snertir flest svið mannlífsins, frá því nýburi er vigtaður og mældur og borinn saman við meðaltal þangað til ævinni er lokið, maðurinn kominn undir græna torfu, og tölvur reikna erfðafjárskatt af því sem hann lætur eftir sig.

Í ríki stærðfræðinnar gengur sólin aldrei til viðar. Þar fella stjórnmálamenn gengið vegna þess að hagfræðingar hafa reiknað út að þess þurfi; veðurfræðingar spá stormi vegna þess að tölva einhvers staðar á Bretlandi eða í Kanada hefur reiknað út að djúp lægð sé á leiðinni; fréttamenn skýra frá niðurstöðum skoðanakönnunar og fullyrða að reiknað hafi verið út að litlar líkur séu á að úrslit kosninga verði á annan veg.

Fyrir 300 árum var málum á annan veg háttað. Þá kunnu sérfræðingarnir sem spáðu í veðrið, gáfu yfirvöldum ráð og sögðu fyrir um gengi valdhafanna yfirleitt hvorki margföldun né deilingu, og þótti ekkert athugavert við það. Þá voru tölur sáralítið notaðar miðað við það sem nú er.

En þótt stærðfræði komi víða við sögu er ekki þar með sagt að allir þurfi að læra nein ósköp í henni. Rafmagn kemur líka víða við sögu og það gegnir lykilhlutverki í nútímatækni. Samt er ekki talin ástæða til að fræða skólafólk mikið um rafmagn.

Flestum gengur ágætlega að rata um ríki stærðfræði og rafmagnstækja án þess að kunna nema einfaldasta reikning og vita nema fáeinar hversdagslegar staðreyndir um rafmagn, eins og að það er hættulegt að stinga prjóni í innstunguna. Það hefur ekkert augljóst nytjagildi að kenna öllum þá stærðfræði sem þarf að kunna til þess að gera veðurspár eða reikna út hvaða áhrif gengisfelling hefur á hag þjóðarinnar. Það dugar að til sé nokkur hópur sérfræðinga sem kann þetta.

Stærðfræði sameinar það að vera fánýtasta og hagnýtasta námsgrein framhaldsskólanna. Hún er hagnýtust í þeim skilningi að samfélagið gæti síst án hennar verið. Það er bráðnauðsynlegt að til sé nokkur hópur manna sem hefur gott vald á henni. Hún er fánýtust í þeim skilningi að flestir nemendur munu aldrei nota hana til eins eða neins. En getum við einblínt á tómt notagildi?

Ef við gefum okkur að það sé eftirsóknarvert fyrir alla menn að skilja þann heim sem þeir lifa í, hvort sem sá skilningur skilar einhverjum áþreifanlegum arði eða ekki, er þá ekki mikilvægt að sem flestir kynnist ríki stærðfræðinnar? Er ekki hægt að færa sömu rök fyrir menntagildi stærðfræði og færð eru fyrir menntagildi sagnfræði. Sagan kennir okkur hvernig mannlífið hefur mótast og skýrir um leið hversu mikið, eða lítið, vit er í ýmsum stofnunum, siðum og venjum sem erfitt er að botna í án þess að þekkja sögulegan bakgrunn þeirra. Kennir stærðfræðin okkur ekki á sama hátt eitthvað sem stuðlar að skynsamlegu gildismati, víðsýni og ratvísi um það völundarhús sem nútíminn er?

Hér er ég satt að segja á báðum áttum. Ég held að þau ofurlitlu kynni sem flestir framhaldskólanemar hafa af algebru, rúmfræði, hnitakerfinu, diffurreikningi og öðru í þeim dúr geri þá ekkert skyggnari á umhverfi sitt. Í sumum tilvikum styrkir þessi kennsla nemendur í þeirri trú að stærðfræði sé bara fyrir fáeina reiknihausa og hefur þannig öfug áhrif. En ef til vill gæti annars konar stærðfræðikennsla haft meira menntagildi fyrir þessa nemendur. Ef til vill ættu þeir að læra eitthvað um sögu stærðfræðinnar og notkunarmöguleika hennar. Ef til vill ættu þeir ekki að læra fleiri tæknileg atriði heldur æfa beitingu þeirrar tækni sem þeir lærðu í grunnskóla og á fyrsta ári í framhaldsskóla og átta sig á því hvað hún kemur víða við sögu í atvinnu og mannlífi.

Ég hef nú fjallað um þrenns konar rök fyrir því að kenna öllum framhaldsskólanemum stærðfræði sem þeir einir sem hyggja á sérhæft nám í stærðfræðilegum vísindum þurfa beinlínis að nota. Ég þykist hafa sýnt fram á að þessi rök dugi engan vegin til að réttlæta námskrá framhaldsskólanna. Þau fyrstu duga ef til vill til þess að sýna fram á að heppilegt sé að kenna öllum fyrsta árs nemum sömu stærðfræði. Ef hinum er fylgt eftir og þau tekin alvarlega þá kalla þau á róttæka endurskoðun námsefnisins.

Ein rök eru enn ótalin. Þau eru á þá leið að stærðfræði efli rökrétta hugsun og mikil stærðfræðikennsla auki því líkurnar á að menn hugsi og breyti skynsamlega.
 

5. STÆRÐFRÆÐI OG RÖKRÉTT HUGSUN

Sú skoðun að stærðfræðiiðkun sé öðru fremur til þess fallin að gera menn skynsama er býsna gömul. Gríski heimspekingurinn Platón trúði því að stærðfræðin þjálfaði menn í að fást við hugtök og sú þjálfun nýttist þeim meðal annars til þess að skilja hugtök eins og réttlæti eða fegurð og móta líf sitt eftir þeim. Hann virðist hafa álitið að glíma við hugtök eins og hring, punkt eða rúmmál skerpi sjónir hugans svo hann fái greint alls konar sannindi sem annars væru hulin.

Þessar kenningar um mátt stærðfræðinnar eru hluti af hátimbraðri smíð, sem kölluð er frummyndakenning. Sú kenning boðar það ásamt öðru að mannskepnan geti með hreinu hugarstarfi öðlast innsæi í það hvernig veruleikinn er og hlýtur að vera. Henni er meðal annars ætlað að skýra hvernig vísindaleg þekking er möguleg og sýna fram á að vísindi séu annað og meira en skoðanir sem eru skilyrtar af uppeldi og félagslegu umhverfi vísindamannsins.

Ásamt frummyndakenningunni hefur kenningin um mátt stærðfræðinnar til að glæða mannvitið birst í ótal myndum. Á 17. öld skaut hún upp kollinum í ritum Descartes, Hobbes, Leibniz og fleiri brautryðjenda í heimspeki og vísindum nýaldar. Sumir þeirra, til dæmis Leibniz, létu sig jafnvel dreyma um að leysa allar gátur og greiða úr öllum flækjum með stærðfræðilegum aðferðum.

Á 20. öld hafa hugmyndir um náin tengsl stærðfræði og skynsamlegrar hugsunar meðal annars verið vinsælar meðal uppeldis- og kennslufræðinga sem eru undir áhrifum af kenningum svissneska fjölfræðingsins Jean Piaget. Hann taldi að frumreglur talnafræði, rúmfræði og mengjafræði, sem stærðfræðin hvílir á, séu líka frumreglur allrar vitrænnar hugsunar. Kenningar hans um þetta efni hafa haft töluverð áhrif á námsefnisgerð í stærðfræði fyrir grunnskóla.

Það er svolítið erfitt að meta þessar hugmyndir um tengsl stærðfræðinnar við skynsemi og rökrétta hugsun, meðal annars vegna þess hve þær tengjast mörgum óráðnum gátum í þekkingarfræði og frumspeki. Þær hafa óneitanlega töluvert aðdráttarafl, en þær eru líka tortryggilegar.

Hvers vegna skyldi rökrétt hugsun tengjast stærðfræði sterkari böndum en til dæmis bókmenntum eða íþróttum? Það er erfitt að svara þessu þó ekki sé nema vegna þess að það er engan veginn nógu ljóst hvað átt er við þegar talað er um rökrétta hugsun.

Ef rökrétt hugsun er í því fólgin að fylgja reglum eða forskriftum (og er þannig eins konar andstæða skapandi hugsunar) þá er ef til vill hægt að þjálfa fólk í að hugsa rökrétt með því að kenna því reglur til að hugsa eftir og láta það æfa sig í að nota þær.

Eitt af því sem menn þjálfast í þegar þeir iðka stærðfræði er að vinna eftir reglum, en það er vandséð að stærðfræði hafi neina sérstöðu hvað þetta varðar. Menn þjálfast líka í að vinna eftir reglum þegar þeir spila fótbolta. Það er að vísu töluverður munur á reglum eins og víxlreglu, tengireglu eða veldareglum annars vegar og leikreglunum í fótbolta hins vegar. Mér er samt hulin ráðgáta hvers vegna önnur gerðin hentar eitthvað betur en hin til þess að efla rökrétta hugsun.

Kannski er sú rökrétta hugsun sem menn kváðu æfa með því að iðka stærðfræði ekki fólgin í því einu að fylgja reglum. Kannski er hún meira í ætt við hæfileika Sherlock Holmes. Hann er snjall að átta sig á því hvaða staðreyndir skipta máli, hefur hugmyndaflug til að finna tilgátur sem falla að þeim og næga seiglu til að byrja sífellt aftur frá grunni ef tilgátur hans standast ekki. Líklega eru það hæfileikar í þessum dúr sem flestir eiga við þegar þeir hrósa snillingum á borð við Holmes fyrir rökrétta hugsun.

Ef rökrétt hugsun er ekkert annað en þefvísi á aðalatriði, hugmyndaflug og seigla þá er vandséð að stærðfræði sé betur til þess fallin að efla hana en hvað annað. Trúlega er betra að láta krakka fara í ratleik en leggja fyrir þá reiknisdæmi ef efla á með þeim hæfileika af þessu tagi.

En rökrétt hugsun er ekki bara hæfileiki til að fylgja reglum, þefvísi, hugmyndaflug og seigla. Hún er kannski fyrst og fremst rökvísi eða hæfileiki til að finna út eða skilja hvernig sanngildi einnar fullyrðingar er háð sanngildi annarra fullyrðinga. Það þarf rökvísi af þessu tagi til að átta sig á að ef fullyrðingarnar:

i. Annað hvort er Páll piparsveinn eða fráskilinn;
ii. Ef Gunnar segir satt þá giftist Páll Guðrúnu árið 1972;
eru báðar sannar, þá hlýtur fullyrðingin

iii. Annað hvort segir Gunnar ósatt eða Páll er fráskilinn

líka að vera sönn.

Það er til heilmikil fræðigrein um svona rökvísi og þær reglur sem hún fylgir. Þessi fræðigrein heitir rökfræði. Sumir segja að hún sé móðir stærðfræðinnar en aðrir telja þær systur.

Reglur rökfræðinnar eru eins og reglur málfræðinnar að því leyti að flest fólk fer eftir þeim án þess að vita hverjar þær eru. Ef til vill er hægt að auka rökvísi fólks alveg eins og hægt er að bæta málkennd þess. Ég veit ekki hvaða aðferðir henta best. Kannski má ná einhverjum árangri með því að kenna fólki rökfræði eða með því að láta það glíma við rökþrautir.

Flest viðfangsefni í stærðfræði krefjast töluverðrar rökvísi. En mér virðist það opin spurning hvort stærðfræði af því tagi sem kennd er í framhaldsskólum eflir þennan hæfileika neitt frekar en til dæmis tungumálanám þar sem nemandinn þarf sífellt að álykta af málfræðireglum og dæmum hvernig rétt sé að byggja setningar. Þótt stærðfræðinám krefjist ef til vill meiri rökvísi en nám í flestum öðrum greinum er ekki þar með sagt að það efli hana neitt meira en önnur viðfangsefni.

En hvað sem rökrétt hugsun er skulum við vona að nám í stærðfræði þjálfi menn í að hugsa rökrétt um tölur og stærðir, föll og ferla, alveg eins og þjálfun í briddsi gerir menn leikna í að hugsa rökrétt um stungur og svíningar. Það sama á við um öll fög, nám í þeim þjálfar hugsunina á einhverju tilteknu sviði. Spurningin er hvort stærðfræði þjálfi hana almennt og yfirleitt og geri menn hæfari til að hugsa af skynsemi um önnur efni en stærðfræðileg, til dæmis um fegurð og réttlæti? Ég kem ekki auga á ástæður til að halda að svo sé.
 

6. NIÐURSTÖÐUR

Ég hef ekki komist að neinni einfaldri niðurstöðu sem ég get slegið fram í stuttu máli. Ég ætla samt að draga saman nokkur aðalatriði þess sem ég hef haldið fram og rökstutt.

Þrátt fyrir verulega áherslu á stærðfræði í grunn- og framhaldsskólum hefur hún ekki orðið hluti af almennri menntun á sama hátt og til dæmis saga eða náttúrufræði. Það blasir engan veginn við að önnur stærðfræði en sú sem allir þurfa að nota í daglegu lífi eigi að vera hluti af almennri menntun. Þau rök sem mæla með því að kenna fólki meiri stærðfræði en það hefur bein not fyrir eru engan veginn einhlít, og það er af og frá að þau sanni að það sé gagn að þeirri stærðfræðikennslu sem þorra framhaldsskólanema er boðið upp á.

Eina stærðfræðin sem hægt er að fullyrða með vissu að allir þurfi að læra er sá einfaldi reikningur sem nýtist í daglegu lífi. Þess vegna á að leggja áherslu á að allir læri hann. Þessu markmiði má ekki fórna vegna einhverra óljósra og missennilegra hugmynda um gildi þess að kenna öllum æðri stærðfræði og innræta þeim skilning á dýpri rökum slíkra fræða.

Það þarf að endurskoða stærðfræðikennslu í framhaldsskólum. Við getum ekki fóðrað meiri hluta nemenda á molum af borði verðandi raunvísindamanna. Til þess að geta endurskoðað námsefnið af einhverju viti þurfa menn að gera sér skynsamlega grein fyrir tilgangi stærðfræðikennslunnar.

Atli Harðarson - 1994