next up previous
Next: About this document ...

Um samdreifni (covariance) og skylda hluti

Skilgreining: Lįtum $X$ og $Y$ vera hendingar meš vęntigildi $E[X]=\mu_X$ og $E[Y]=\mu_Y$. Samdreifni hendinganna $X$ og $Y$ er

\begin{displaymath}
Cov(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]
\end{displaymath}

ef žetta vęntigildi er til.

Setning: Ef $X$ og $Y$ eru óhįšar hendingar, žį er $Cov(X,Y)=0$.

Einfaldast er aš byrja į aš sanna ašeins einfaldari setningu.

Hjįlparsetning: Ef $X$ og $Y$ eru óhįšar hendingar, žį er $E[X\cdot Y]=E[X] \cdot E[Y]$.

Sönnun hjįlparsetningarinnar: Gerum rįš fyrir aš um strjįlar hendingar sé aš ręša (samfellda tilvikiš er eins, meš tegri ķ staš summu). Žar sem hendingarnar eru óhįšar gildir aš $p(x,y)=p_X(x)\cdot
p_Y(y)$. Žį gildir lķka aš

\begin{eqnarray*}
E[X\cdot Y] &=&\sum_x \sum_y x \cdot y \cdot p(x,y) \\
&=&\su...
...\left \{ \sum_y \cdot y p_Y(y) \right \} \\
&=& E[X] \cdot E[Y]
\end{eqnarray*}



Sönnun setningarinnar: Gerum rįš fyrir žvķ aš f sé samžéttifall $X$ og $Y$. Žį reiknast $Cov(X,Y)$ žannig:

\begin{eqnarray*}
Cov(X,Y)&=&E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \\
&=& E[(X-\mu_X)Y] - E[(X-...
...\mu_Y \\
&=& E[X]E[Y] -\mu_X E[Y] - (E[X]-\mu_X)\mu_Y \\
&=& 0
\end{eqnarray*}



en ķ sķšustu lķnunni er notaš aš $E[X]=\mu_X$ og tilsvarandi fyrir $Y$.





Gunnar Stefansson 2000-10-29