Eigingildi og eiginvigrar (eigenvalues and eigenvectors)

Í eftirfarandi er gert ráð fyrir að fylki og vigrar sem eru nefnd, séu þannig að tilheyrandi aðgerðir margföldunar og samlagningar séu vel skilgreindar.

Skilgreining: Ef $\mathbf{A}$ er fylki, $\lambda$ er tala og $\mathbf{x}$ er vigur þannig að $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ og $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ þá nefnist $\lambda$ eigingildi fylkisins og $\mathbf{x}$ eiginvigur þess.

Athugasemd 1: Fylkið $\mathbf{A}$ þarf að vera þannig að $\mathbf{A}\mathbf{x}$ og $\mathbf{x}$ séu jafnlangir vigrar. Þannig er fylkið $n \times n$ fylki ef $\mathbf{x}$ er $n \times 1$ vigur.

Athugasemd 2: Núllvigrar uppfylla alltaf $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ en eru ekki áhugaverðir svo skilgreining á eiginvigrum takmarkast við vigra sem eru ekki núllvigrar.

Athugasemd 3: Ef $\mathbf{x}$ er eiginvigur þá er $k\mathbf{x}$ líka eiginvigur ef $k$ er einhver tala, ekki núll. Því er leit að eiginvigrum yfirleitt takmörkuð við einingarvigra.

Talan $\lambda$ er eigingildi fylkisins $\mathbf{A}$ og $\mathbf{x}$ eiginvigur þess þá og því aðeins að $\mathbf{A}\mathbf{x}-\lambda\mathbf{x}=\mathbf{0}$, þ.e. ef og aðeins ef $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x}=\mathbf{0}$. En þá varpar fylkið $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ vigrinum $\mathbf{x}$ í núllvigurinn og $\mathbf{x}$ er ekki núllvigur. Það þýðir að fylkið $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ gefur ekki eintæka vörpun og hefur því ekki andhverfu.

Við höfum því sýnt eftirfarandi: $\lambda$ er eigingildi þá og því aðeins að $\vert\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \vert=0$.

Minnumst þess, að ákveða fylkisins $\mathbf{B}$ af stærð $n \times n$, $\vert\mathbf{B}\vert$, er mynduð með því að smíða summur af margfeldum þar sem hvert margfeldi er myndað með einu staki úr hverjum dálki og hverri línu í $\mathbf{B}$. Ef $\mathbf{B}=\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ sést að $\lambda$ kemur eingöngu fyrir á hornalínum fylkisins $\mathbf{B}$ og því er ljóst að í hverju margfeldi sem er myndað af $n$ stökum getur $\lambda$ í mesta lagi komið $n$ sinnum fyrir. Þannig sjáum við að jafnan $\vert\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \vert=0$ er margliðujafna, af mesta lagi af gráðu $n$, ef $\mathbf{A}$ er $n \times n$ fylki.