next up previous
Next: About this document ... Up: eigen Previous: eigen

Eigingildi og eiginvigrar (eigenvalues and eigenvectors)

eftirfarandi er gert r fyrir a fylki og vigrar sem eru nefnd, su annig a tilheyrandi agerir margfldunar og samlagningar su vel skilgreindar.

Skilgreining: Ef $\mathbf{A}$ er fylki, $\lambda$ er tala og $\mathbf{x}$ er vigur annig a $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ og $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ nefnist $\lambda$ eigingildi fylkisins og $\mathbf{x}$ eiginvigur ess.

Athugasemd 1: Fylki $\mathbf{A}$ arf a vera annig a $\mathbf{A}\mathbf{x}$ og $\mathbf{x}$ su jafnlangir vigrar. annig er fylki $n \times n$ fylki ef $\mathbf{x}$ er $n
\times 1$ vigur.

Athugasemd 2: Nllvigrar uppfylla alltaf $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ en eru ekki hugaverir svo skilgreining eiginvigrum takmarkast vi vigra sem eru ekki nllvigrar.

Athugasemd 3: Ef $\mathbf{x}$ er eiginvigur er $k\mathbf{x}$ lka eiginvigur ef $k$ er einhver tala, ekki nll. v er leit a eiginvigrum yfirleitt takmrku vi einingarvigra.

Talan $\lambda$ er eigingildi fylkisins $\mathbf{A}$ og $\mathbf{x}$ eiginvigur ess og v aeins a $\mathbf{A}\mathbf{x}-\lambda\mathbf{x}=\mathbf{0}$, .e. ef og aeins ef $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x}=\mathbf{0}$. En varpar fylki $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ vigrinum $\mathbf{x}$ nllvigurinn og $\mathbf{x}$ er ekki nllvigur. a ir a fylki $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ gefur ekki eintka vrpun og hefur v ekki andhverfu.

Vi hfum v snt eftirfarandi: $\lambda$ er eigingildi og v aeins a $\vert\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \vert=0$.

Minnumst ess, a kvea fylkisins $\mathbf{B}$ af str $n \times n$, $\vert\mathbf{B}\vert$, er myndu me v a sma summur af margfeldum ar sem hvert margfeldi er mynda me einu staki r hverjum dlki og hverri lnu $\mathbf{B}$. Ef $\mathbf{B}=\mathbf{A}-\lambda
\mathbf{I}$ sst a $\lambda$ kemur eingngu fyrir hornalnum fylkisins $\mathbf{B}$ og v er ljst a hverju margfeldi sem er mynda af $n$ stkum getur $\lambda$ mesta lagi komi $n$ sinnum fyrir. annig sjum vi a jafnan $\vert\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \vert=0$ er margliujafna, af mesta lagi af gru $n$, ef $\mathbf{A}$ er $n \times n$ fylki.


next up previous
Next: About this document ... Up: eigen Previous: eigen
Gunnar Stefansson 2000-11-15