Um mešaltöl og mešaltöl Um mešaltöl og mešaltöl

Annars stašar er fjallaš um mun į hendingum og śtkomum žeirra, en hér skal gerš grein fyrir muninum į żmsum mešaltölum, en žaš orš er notaš yfir fjölmarga algerlega óskylda hluti.

Rifjum upp aš oršiš "hópur" og "hending" er notaš nokkuš jöfnum höndum. Žannig er hending hugsuš sem tįkn til aš leyfa śtreikning į lķkindum eins og P[X £ x] og oft er ķ raun įtt viš aš veriš sé aš reikna hlutföll sem eiga viš einhvern hóp sem tekiš veršur śrtak śr. Lķkindadreifing hendingarinnar į žį aš lżsa eiginleikum hópsins, ž.e. tķšni stakra fyrirbęra ķ śrtaksrśminu.

Dęmi: Raušar og gular kślur eru ķ krukku, alls 3 raušar og 2 gular. Viš ętlum aš draga 3 kślur meš skilum śr krukkunni og tįknum meš X žann fjölda raušra kślna sem mun koma śt śr tilrauninni (įšur en hśn er gerš). X hefur žį tvķkostadreifinguna (binomial distribution), tįknaš X ~ b(n = 3,p = 3/5) og lķkindadreifing X er gefin meš:

x p(x)=P[X=x]
0 1·(3/5)0·(2/5)3 = 8/125
1 3·(3/5)1·(2/5)2 = 36/125
2 3·(3/5)2·(2/5)1 = 54/125
3 1·(3/5)3·(2/5)0 = 27/125
Alls 1

Nś er ljóst, aš samsetningin er žannig aš žaš koma aš jafnaši 3/5 eša 60tilraunin er gerš nógu oft. Af žremur kślum verša žvķ aš jafnaši 3·[3/5] = [9/5] raušar. Žetta mį skilgreina ašeins nįnar.

Viš skilgreinum vęntigildi hendingar X meš


E[X] =
å
x 
x ·p(x).
(1)

Hér er rétt aš benda į, aš žegar um strjįla hendingu er aš ręša, er žetta nįkvęmlega sama jafna og fęst ef litiš er į hóp meš tilteknum fjölda į bak viš hvert gildi hendingarinnar. Ķ kśludęminu tölum viš yfirleitt um alls 8 grunnsamsetningar (GRR, GRG o.s.frv) og hver žeirra hefur tilteknar lķkur mišaš viš fjölda kślna ķ krukkunni. Hins vegar er einnig hęgt aš setja nśmer į kślurnar 5 og merkja samsetningarnar hverja fyrir sig. Žį eru alls 125 möguleikar į samsetningum. Slķkar samsetningar myndum viš merkja G1R2R1,G1G1R2 o.s.frv.

Til aš sżna hvernig ofangreint mešaltal er eina skynsamlega skilgreiningin į mešaltali hendingarinnar gętum viš smķšaš nżjan "hóp", en ķ žetta sinn hóp af pokum. Ķ hverjum poka vęru 3 nśmerašar kślur, gular eša raušar, tilsvarandi nįkvęmlega einni samsetningu upp śr krukkunni. Ef viš bśum žannig til alla möguleikana, alls 125 poka žį fįum viš tķšnidreifinguna eins og ķ töflunni aš ofan, ž.e. 8 pokar meš 3 gulum, 36 meš 1 rauša og 2 gular o.s.frv.. Žį getum viš sett upp tilraun sem er tilviljanakennt val į poka og viš lįtum nżja hendingu Y tįkna fjölda raušra kślna ķ pokanum. Žį hefur Y nįkvęmlega sömu tķšnidreifingu og X. Vęntigildi Y veršur augljóslega aš vera mešalfjöldi raušra kślna ķ öllum 125 pokunum, en žaš gefur nįkvęmlega sömu nišurstöšu og ofangreind jafna fyrir vęntigildi X.

Ķ ofangreindu dęmi fęst: m = E[X] = 0 ·[8/125] +1 ·[36/125] +2 ·[54/125] +3 ·[27/125] = [(36+108+81)/125] = [225/125] = [9/5] eins og ętlast var til.

Žetta er oft kallaš mešaltal hendingarinnar eša hópmešaltališ.

Ef žessi śrdrįttur er framkvęmdur oftar mį lżsa tilrauninni ķ heild meš fleiri hendingum, sem viš tįknum gjarnan meš X1, X2, ...,Xn. Hver žessara hendinga hefur žį lķkindadreifingu sem er sett upp ķ töflunni.

Viš getum skilgreint nżja hendingu, sem er mešaltal žessara hendinga:


_
X
 
= 1
n
n
å
i = 1 
Xi = 1
n
{ X1 + ¼+ Xn }.
(2)

Žetta nżja fyrirbęri er einfaldlega hending, nįkvęmlega eins og ašrar hendingar. Žvķ mį setja fram lķkindadreifingu žessarar hendingar og unnt er aš fjalla um vęntigildi hennar o.s.frv.

Žegar tilraunin hefur veriš gerš birtast tölur, x1, x2, ¼,xn og žį mį reikna mešaltal žeirra talna,


_
x
 
= 1
n
n
å
i = 1 
xi = 1
n
{ x1 + ¼+ xn }.
(3)

Eins og įšur, žį er žetta rauntala, sem viš lķtum į sem śtkomu hendingarinnar
_
X
 
= 1
n
n
å
i = 1 
Xi .
(4)

Ķ kślnadęminu gętum viš hugsaš okkur aš framkvęma śdrįttinn fimm sinnum, fį fyrst tvęr raušar kślur, žį eina, sķšan žrjįr, tvęr og enga. Žetta gefur tölurnar 2, 1, 3, 2, 0, sem viš tįknum meš x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 2, x5 = 0 og nišurstaša tilraunarinnar veršur sś aš mešalfjöldinn ķ śrtakinu er
_
x
 
= 1
n
n
å
i = 1 
xi = 1
5
{2+1+3+2+0 } = 9
5
.
(5)

Hér hefur veriš reynt aš gera grein fyrir ešlismun žeirra mešaltalna sem fengist er viš ķ tölfręši:


m = E[X]
Hópmešaltal = Vęntigildi hendingar
(6)
_
X
 
Hending sem er mešaltal af öšrum hendingum
(7)
_
x
 
Mešaltal talna
(8)




File translated from TEX by TTH, version 2.73.
On 21 Sep 2000, 12:08.