Um hendingar og męlingar, śrtaksrśm og Um hendingar og męlingar, śrtaksrśm og śrtök

Žegar veriš er aš ręša um tilraunir og śtkomur žeirra eru į feršinni nokkur hugtök sem naušsynlegt er aš halda ašskildum. Hér žarf ekki einungis aš skilgreina hugtökin vel heldur einnig aš nota tįkn til aš halda žeim ašskildum.

Fyrst ber aš nefna greinarmuninn į śtreikningum sem byggjast į hópnum (eša žżšinu) annars vegar og śrtakinu hins vegar. Fyrir hópmešaltöl og įlķka hluti eru yfirleitt notuš grķsk tįkn eins og m en fyrir tilsvarandi śtreikninga byggt į śrtakinu eru yfirleitt notašir latneskir lįgstafir eins og t.d.
_
x
 
(1)
Nįnar er fjallaš um žennan mun į hópnum og öšrum męlikvöršum annars stašar.

Jafnmikilvęgt er aš gera sér grein fyrir, hvort veriš er aš tala um raunverulegar męlingar sem eru žį oršnar aš tölum, eša um lķkleg gildi sem tiltekiš męliferli getur gefiš. Augljóslega žarf aš gera greinarmun į žessu žvķ t.d. ķ rśssneskri rślettu eru tilteknar lķkur į hverri śtkomu (0=skotiš reiš af eša 1=skotiš reiš ekki af) į mešan veriš er aš ķhuga žįttöku eša į mešan nišurstašan hefur ekki veriš kynnt. Į žessu stigi er žvķ unnt aš tala um lķkur į aš tiltekin śtkoma fįist. Eftir aš tilraunin hefur veriš gerš er hins vegar ekki hęgt aš tala um neinar lķkur heldur er ašeins bśiš aš męla tiltekna gefna tölu.

Af žessum sökum er naušsynlegt aš smķša sérstök tįkn og heiti fyrir óoršna atburši eša męlingar. Hugtakiš hending (random variable) er notaš til aš tįkna hugsanleg gildi męlinga sem ekki hafa veriš geršar. Til aš tįkna hendingar eru yfirleitt notašir latneskir hįstafir (X, Y o.s.frv.).

Meš žessum tįknum er bśiš aš śtbśa plįss fyrir helstu hugtök og ramma utan um fullyršingar sem žarf aš vera hęgt aš setja fram ķ lķkindareikningi og tölfręši.

Athugum aš frį fręšilegu sjónarmiši er eitthvert skilgreint śrtaksrśm aš baki tilrauninni (t.d. allir mögulegir grunnatburšir) og hendingin er fall frį śrtaksrśminu yfir ķ rauntölurnar. Žannig er fullyršing eins og "X>10" ekkert annaš en tilsvarandi fullyršing um śrtaksrśmiš, ž.e. {w Ī W: X(w) > 10}.

Dęmi: Raušar og gular kślur eru ķ krukku, alls 30 raušar og 20 gular. Viš ętlum aš draga 3 kślur meš skilum śr krukkunni og tįknum meš X žann fjölda raušra kślna sem mun koma śt śr tilrauninni (įšur en hśn er gerš).

Žegar tiltekin kśla er dregin eru lķkurnar augljóslega 3/5 į žvķ aš fį rauša kślu og 2/5 į žvķ aš fį gula. Žar sem kślunum er skilaš ķ hvert sinn og ašgerširnar eru óhįšar verša lķkurnar į tiltekinni röš einfaldlega margfeldiš af lķkunum į hverjum lit ķ röšinni, t.d. er P{GRG} = P{G}·P{R}·P{G} = (2/5)·(3/5)·(2/5)

Hér er ešlilegt aš sjįlft śrtaksrśmiš (W) sé allar hugsanlegar samsetningar į gulum og raušum kślum (t.d. GGR, GGG, RRG o.s.frv) meš tilsvarandi lķkum. Frį formlegu sjónarmiši er hendingin X skilgreint sem falliš sem telur fjölda raušra kślna ķ śtkomunni. Ef upp kemur röšin w = RGR fęr hendingin X gildiš X(w)=2 en ķ reynd er aldrei reynt aš fįst viš nįkvęma skilgreiningu fallsins heldur er einfaldlega reynt aš lżsa lķkindadreifingu hendingarinnar.

Fullyršingin "X=2" er ätburšur", ž.e. "X=2" tilsvarar nokkrum mögulegum śtkomum, nįnar tiltekiš A = {GRR, RGR, RRG}. Lķkurnar į "X=2" eru hér einfaldlega summan af lķkunum į hverjum grunnatburši eša staki ķ A fyrir sig, ž.e. P[X = 2] = P[A] = P{GRR}+P{RGR}+P{RRG}.

Žegar slķkar, strjįlar hendingar eru į feršinni er einfaldasta framsetingin sś aš byrja į aš setja alla möguleika upp ķ töflu og skrifa nišur bęši lķkurnar į viškomandi möguleika įsamt tilsvarandi gildi į hendingunni.

Grunnatburšur Lķkur Gildi į X
GGG (2/5) ·(2/5) ·(2/5) = (3/5)0·(2/5)3 0
GGR (2/5) ·(2/5) ·(3/5) = (3/5)1·(2/5)2 1
GRG (2/5) ·(3/5) ·(2/5) = (3/5)1·(2/5)2 1
RGG (3/5) ·(2/5) ·(2/5) = (3/5)1·(2/5)2 1
GRR (2/5) ·(3/5) ·(3/5) = (3/5)2·(2/5)1 2
RGR (3/5) ·(2/5) ·(3/5) = (3/5)2·(2/5)1 2
RRG (3/5) ·(3/5) ·(2/5) = (3/5)2·(2/5)1 2
RRR (3/5) ·(3/5) ·(3/5) = (3/5)3·(2/5)0 3
Alls 1

Til aš finna lķkindadreifingu X žarf aš leggja saman lķkurnar fyrir žį grunnatburši sem tilsvara hverju tilteknu gildi hendingarinnar.

x p(x)=P[X=x]
0 1·(3/5)0·(2/5)3
1 3·(3/5)1·(2/5)2
2 3·(3/5)2·(2/5)1
3 1·(3/5)3·(2/5)0
Alls 1

Žegar tilraunin hefur įtt sér staš erum viš meš einhverja tiltekna śtkomu ķ höndunum. Žį śtkomu getum viš tįknaš meš x, sem er einfaldlega einhver föst tala, t.d. x = 2. Ķ sumum tilvikum getur veriš um ósennilega nišurstöšu aš ręša, ž.e.a.s. lķkurnar eins og P[X £ x] eru mjög litlar og ķ žvķ tilviku gętum viš efast um aš kślnafjöldinn sé žaš sem fullyrt var. Žaš er hins vegar mikilvęgt aš gera sér grein fyrir, aš žessar lķkur eru vel skilgreindar, ž.e.a.s. X £ x er vel skilgreindur atburšur, en žessi yršing lżsir mjög vel mismuninum į hendingunni sjįlfri og sķšari nišurstöšu tilraunarinnar.




File translated from TEX by TTH, version 2.73.
On 21 Sep 2000, 12:01.