next up previous
Next: About this document ...

Um samlķkur (joint probability)

Žegar skošašar eru margar hendingar er naušsynlegt aš śtvķkka žéttifallshugtakiš žannig aš žaš sé einnig hęgt aš tala um sameiginlegar lķkur žess aš tvęr hendingar nįi tilteknum gildum ķ einu og įlķka.

Tökum sem dęmi teningakast meš tveimur teningum. Fjölda augna į fyrri teningnum mį tįkna meš X og fjölda augna į žeim sķšari meš Y. Hver hugsanleg śtkoma śr tilrauninni er žį talnapar, (x,y). Ef teningaköstin eru algerlega óhįš hvert öšru eru lķkurnar į hverri śtkomu (x,y) einfaldlega $\frac{1}{6}$ fyrir $x=1,\ldots,6$ og $y=1,\ldots,6$. Žannig mį setja samlķkur fyrir X og Y upp ķ töflu, žar sem hvert atriši ķ töflunni tįknar P[X=x, Y=y].

  Gildi į X            
  1 2 3 4 5 6 P[X=x]=pX(x)
1 $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
2 $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
3 $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
4 $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
5 $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
6 $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
P[Y=y]=pY(y) $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ 1

Til hęgri ķ töflunni kemur dįlkur sem inniheldur summu af lķkum ķ hverri lķnu. Žessi dįlkur inniheldur žvķ


\begin{displaymath}
\sum_y P[X=x, Y=y]=P[X=x]
\end{displaymath}

og jafna žessi gildir fyrir hvaša strjįla dreifingu sem vera skal (žvķ atburširnir {Y=y, X=x} fyrir öll y eru skipting į atburšinum {X=x} og lķkurnar į žvķ sķšarnefnda eru summan af lķkum į hlutmengjunum).

Stökin ķ töflunni eru dęmi um samlķkindi (eša samžéttifall, žótt žaš orš sé oftar notaš um samfelldar dreifingar).

Tölurnar ķ dįlknum til hęgri nefnast jašardreifing (marginal distribution) hendingarinnar X, (eša jašaržéttifall, žótt žaš orš sé oftar notaš um samfelldar dreifingar) og lķnan undir töflunni inniheldur jašaržéttifall Y. Jašaržéttiföll og lķkur eru tįknuš meš pY(y) žar sem

\begin{displaymath}
p_Y(y) = \sum_x P[X=x, Y=y]= \sum_x p(x,y)
\end{displaymath}

fyrir tvķvķšar strjįlar dreifingar og eru tįknuš meš fY(y) fyrir samfelldar dreifingar.

Skilgreining: Fyrir strjįlar hendingar nefnist falliš p samžéttifall (eša samlķkur) hendinganna $X_1, \ldots , X_n$ ef rita mį

\begin{displaymath}
P[X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots , X_n=x_n]=p(x_1, x_2, \ldots , x_n)
\end{displaymath}

fyrir allar tölur $x_1, x_2, \ldots , x_n$.

Afleišing af žessari skilgreiningu er sś, aš uppsöfnuš lķkindi mį reikna meš jöfnunni

\begin{displaymath}
P[X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \ldots , X_n \leq x_n]=
\sum_{...
...eq x_2}
\ldots
\sum_{t_n \leq x_n}
p(t_1, t_2, \ldots , t_n)
\end{displaymath}

og žvķ er ešlilegt aš skilgreina samžéttiföll samfelldra hendinga žannig aš tilsvarandi tegur žurfi aš gilda.

Skilgreining: Fyrir samfelldar hendingar nefnist falliš f samžéttifall hendinganna $X_1, \ldots , X_n$ ef rita mį

\begin{displaymath}
P[X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \ldots , X_n \leq x_n]=
\int_{...
...int_{-\infty}^{x_n}
f(t_1, t_2, \ldots , t_n)dt_n \ldots dt_1
\end{displaymath}

Athugum, aš žegar samlķkur eru til fyrir hendingar žį mį skilgreina vęntigildi į ešlilegan hįtt. Til dęmis, ef X og Y eru strjįlar hendingar žį reiknast vęntigildi summunnar sem


\begin{displaymath}
E[X+Y] = \sum_x \sum_y \left ( x + y \right ) p(x,y)
\end{displaymath}

og fyrir samfelldar hendingar gildir tilsvarandi jafna meš tegurmerkjum. Einnig mį skilgreina vęntigildi af almennu (rauntölu-)falli af hendingunum žannig:


\begin{displaymath}
E[h(X,Y)] = \sum_x \sum_y h(x,y) p(x,y)
\end{displaymath}

Rétt er aš benda į hér, aš vitanlega hefur hendingin Z=h(X,Y) lķka eigin lķkindadreifingu og žvķ mętti reikna vęntigildiš eins og hefšbundiš er, ž.e. meš $E[Z]=\sum_z z p_Z(z)$ (eša meš tilsvarandi tegri) en žessi jafna gefur sömu nišurstöšu og sś aš ofan.

Setning: Ef X og Y eru hendingar og vęntigildi žeirra er til, žį er E[X+Y]=E[X]+E[Y].

Sönnun: Viš sönnum žetta einungis fyrir strjįlar hendingar. Ef viš byrjum į aš skrifa upp skilgreininguna į vęntigildinu og taka sķšan örlķtiš saman summurnar, žį fęst:

\begin{eqnarray*}
E[X+Y] &=& \sum_x \sum_y \left ( x + y \right ) p(x,y) \\
&=&...
... \right \} \\
&=& \sum_x x p_X(x) \quad + \quad \sum_y y p_Y(y)
\end{eqnarray*}


Hér var endaš į aš nota, aš jašardreifingar X og Y fįst meš žvķ aš leggja saman p(x,y) yfir gildiš į hinni breytunni. En vęntigildi X er einfaldlega $ \sum_x x p_X(x)$ og tilsvarandi fyrir Y žannig aš nišurstašan er fengin.

Atburšir A og B hafa veriš skilgreindir óhįšir ef um žį gildir aš P[AB]=P[A]P[B]. Į tilsvarandi hįtt eru tvęr strjįlar hendingar X og Y óhįšar ef P[X=x, Y=y]=P[X=x]P[Y=y]. Žetta gefur eftirfarandi ešlilega skilgreiningu į žvķ hvenęr hendingar eru óhįšar:

Skilgreining: Hendingar X og Y kallast óhįšar ef samžéttifall žeirra er margfeldi af jašaržéttiföllunum, ž.e.

p(x,y)=pX(x)pY(y)

ef um strjįlar hendingar er aš ręša en

f(x,y)=fX(x)fY(y)

ef hendingarnar eru samfelldar.




next up previous
Next: About this document ...
Gunnar Stefansson
1999-10-20