Inngangur

Í stað þess að líta á eina mælibreytu sem óháða breytu og reyna að spá henni fyrir gefin gildi á öðrum breytum getur verið eðlilegra að líta svo á að allar breyturnar séu mælingar, hver á sínum hlut. Dæmi um slíkt geta verið svör í skoðanakönnunum, mælingar á mismunandi efnum í blóði, lengd og þyngd dýra o.s.frv. Í slíkum tilvikum er oft eðlilegt að reyna að finna nýjan mælikvarða þannig að hann ``innihaldi megnið af upplýsingagildi mælinganna''. Þetta er höfuðverkefni meginþáttagreiningar (principal component analysis).

Látum $\mathbf{X}$ vera $n \times p$ fylki þar sem hver lína er safn mælinga, t.d. á ákveðnum einstaklingi. Litið er svo á, að mælingarnar í hverri línu fylkisins séu háðar en línurnar séu óháðar. Þannig eru mismunandi mælikvarðar á greind einstaklings háðar mælingar en fyrir mismunandi einstaklinga er gert ráð fyrir óháðum mælivigrum.

Hver lína í $\mathbf{X}$ fylkinu er táknuð $\mathbf{x}_i$ og táknar mælingar þær sem eru gerðar á einstaklingi númer $i$.

Nýja mælikvarða má mynda á ýmsa vegu. Einfaldast er að mynda línulega samantekt af öðrum mælingum. Til dæmis má taka beint meðaltal af öllum spurningum á prófi og nota sem nýjan kvarða í stað einstakra spurninga. En einnig má hugsa sér að láta spurningarnar vega mismikið. Almennt er áhugavert að taka línulega samantekt af mælingum hvers einstaklings. Fyrir einstakling númer $i$ verður slík línuleg samantekt á forminu $\mathbf{c}'\mathbf{x}_i$.