next up previous
Next: Meginžęttir gagna Up: Meginžęttir (principal components) Previous: Samdreifni hendinga og gagna

Lķnuleg samantekt hendinga: Hįmörkun dreifni

Lįtum nś $\mathbf{X}_i$ tįkna vigur hendinga, sem tįknar framtķšarmęlingar į einstaklingi $i$. Skoša skal eiginleika $\mathbf{c}'\mathbf{X}_i$ žar sem vigurin $\mathbf{c}$ er vigur meš vogtölum. Žį žarf aš lķta į dreifni žessarar samantektar, $V[\mathbf{c}'\mathbf{X}_i]$. Meš žvķ aš skoša stök samantektarinnar mį leiša śt fylkjajöfnu sem lżsir žessari dreifni, žannig:


\begin{displaymath}
V[\mathbf{c}'\mathbf{X}]_i=\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c}.
\end{displaymath} (2)

Ef hin lķnulega samantekt į aš endurspegla sem mest af žeim upplżsingum, sem er aš finna ķ gögnunum mį ętla aš hśn eigi aš hafa sem mesta breytileika. Žannig er ęskilegt aš $\mathbf{c}'\Sigma
\mathbf{c}$ verši sem stęrst. Žetta er ekki nęgilegt skilyrši žvķ margfalda mį $c$ meš fasta og fį stöšugt hęrra gildi, sem er ekki ętlunin. Žvķ er leit aš hęstu dreifni takmörkuš viš einingarvigra $\mathbf{c}$, ž.e. $\mathbf{c}'\mathbf{c}=1$.

Ašferš Lagrange er notuš til aš leysa bestunarvandamįl af žessari gerš:

$\displaystyle \textrm{max}$ $\textstyle \mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c}$   (3)
$\displaystyle \textrm{m.t.t.}$ $\textstyle \mathbf{c}'\mathbf{c}=1$   (4)

Smķšaš er s.k. Lagrange fall, $L=\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c} +
\lambda (\mathbf{c}'\mathbf{c}-1)$, žaš diffraš m.t.t. $\mathbf{c}$ og vigur diffurkvóta settur $=0$. Įn žess aš hér verši fariš ķtarlega ķ žessa ašferšafręši mį nefna, aš sś jafna veršur žannig:
$\displaystyle \Sigma \mathbf{c} -\lambda \mathbf{c} =\mathbf{0},$     (5)

ž.e.a.s. $\mathbf{c}$ žarf aš vera eiginvigur $\Sigma$ og $\lambda$ er tilsvarandi eigingildi.

Ef viš höfum einhvern slķkan eiginvigur og tilsvarandi eigingildi mį margfalda sķšustu jöfnuna meš $\mathbf{c}'$ og fį:

$\displaystyle \mathbf{0}= \mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c} -\lambda \mathbf{c}'\mathbf{c}$     (6)
$\displaystyle =\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c} -\lambda$     (7)

ž.e.a.s. dreifnin, $V[\mathbf{c}'\mathbf{X}]=\mathbf{c}'\Sigma
\mathbf{c}$ sem į aš vera sem hęst veršur sama og eigingildiš.

Žvķ er ljóst aš mesta dreifnin fęst meš žvķ aš byggja lķnulega samantekt į stušlum žess eiginvigurs sem tilsvarar hęsta eigingildi dreifnifylkisins.


next up previous
Next: Meginžęttir gagna Up: Meginžęttir (principal components) Previous: Samdreifni hendinga og gagna
Gunnar Stefansson 2000-11-15