Línuleg samantekt hendinga: Hámörkun dreifni

Látum nú $\mathbf{X}_i$ tákna vigur hendinga, sem táknar framtíðarmælingar á einstaklingi $i$. Skoða skal eiginleika $\mathbf{c}'\mathbf{X}_i$ þar sem vigurin $\mathbf{c}$ er vigur með vogtölum. Þá þarf að líta á dreifni þessarar samantektar, $V[\mathbf{c}'\mathbf{X}_i]$. Með því að skoða stök samantektarinnar má leiða út fylkjajöfnu sem lýsir þessari dreifni, þannig:

$$V[\mathbf{c}'\mathbf{X}]_i=\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c}.$$ (2)

Ef hin línulega samantekt á að endurspegla sem mest af þeim upplýsingum, sem er að finna í gögnunum má ætla að hún eigi að hafa sem mesta breytileika. Þannig er æskilegt að $\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c}$ verði sem stærst. Þetta er ekki nægilegt skilyrði því margfalda má $c$ með fasta og fá stöðugt hærra gildi, sem er ekki ætlunin. Því er leit að hæstu dreifni takmörkuð við einingarvigra $\mathbf{c}$, þ.e. $\mathbf{c}'\mathbf{c}=1$.

Aðferð Lagrange er notuð til að leysa bestunarvandamál af þessari gerð:

$$\textrm{max} \mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c}$$ (3)

$$\textrm{m.t.t.} \mathbf{c}'\mathbf{c}=1$$ (4)

Smíðað er s.k. Lagrange fall, $L=\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c} + \lambda (\mathbf{c}'\mathbf{c}-1)$, það diffrað m.t.t. $\mathbf{c}$ og vigur diffurkvóta settur $=0$. Án þess að hér verði farið ítarlega í þessa aðferðafræði má nefna, að sú jafna verður þannig:

$$\Sigma \mathbf{c} -\lambda \mathbf{c} =\mathbf{0},$$ (5)

þ.e.a.s. $\mathbf{c}$ þarf að vera eiginvigur $\Sigma$ og $\lambda$ er tilsvarandi eigingildi.

Ef við höfum einhvern slíkan eiginvigur og tilsvarandi eigingildi má margfalda síðustu jöfnuna með $\mathbf{c}'$ og fá:

$$\mathbf{0}= \mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c} -\lambda \mathbf{c}'\mathbf{c}$$ (6)

$$=\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c} -\lambda$$ (7)

þ.e.a.s. dreifnin, $V[\mathbf{c}'\mathbf{X}]=\mathbf{c}'\Sigma \mathbf{c}$ sem á að vera sem hæst verður sama og eigingildið.

Því er ljóst að mesta dreifnin fæst með því að byggja línulega samantekt á stuðlum þess eiginvigurs sem tilsvarar hæsta eigingildi dreifnifylkisins.