:

09.10.16 Línuleg algebra og tölfræði, des 1999 - lausnaraðferðir

Leyfileg hjálpargögn: Dauðir hlutir.

Notið 5% marktæknikröfu nema annað sé tekið fram.

Vægi dæma er gefið í svigum. Alls eru stigin 100 en 85 stig teljast full lausn.

1. (15) Skilgreinið fylkið X og vigurinn y (sem einnig verða notuð í dæmum 2-3) á eftirfarandi hátt

$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}= \left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m... ...1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 6 \\ 7 \\ 5 \\ 7 \\ 8 \\ 6 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

þar sem a₁, a₂, a₃ og a₄ eru dálkar fylkisins, ritaðir sem dálkvigrar.

Finnið hornréttan einingargrunn { v₁, v₂, v₃ , v₄ } fyrir span( a₁, a₂, a₃, a₄) með Gram-Schmidt aðferð.

Ath: Flest innfeldin eru 0.

Byrjum: $\vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert=\sqrt {1+1+...+1} =\sqrt {9}=3$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{v_1 }=\mathbf{a_1} / \vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert ... ...1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

Reikna leif

$\begin{eqnarray*} \mathbf{r_2 }=\mathbf{a_2} - \underbrace { \left ( \mathbf{a_... ... \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

og einingarvigurinn:

$\vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert=\sqrt {0+0+1+1+0+1+1+0+0} =\sqrt {4}=2$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{v_2 }=\mathbf{r_2} / \vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert ... ... \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

Svo kemur v₃ - reikna leif

$\begin{eqnarray*} \mathbf{r_3 }=\mathbf{a_3} - \underbrace { \left ( \mathbf{a_... ... \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

og einingarvigurinn:

$\vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert=\sqrt {1+0+1+0+0+0+1+0+1} =\sqrt {4}=2$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{v_3 }=\mathbf{r_3} / \vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert ... ... \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

Svo kemur v₄ - reikna leif

$\begin{eqnarray*} \mathbf{r_4 }=\mathbf{a_4} - \underbrace { \left ( \mathbf{a_... ...\\ 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ -4 \\ 3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

og reiknum einingarvigurinn:

$\vert\vert\mathbf{r_4}\vert\vert=\sqrt {1+4+1+0+4+0+1+16+9} =\sqrt {36}=6$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{v_4 }=\mathbf{r_4} / \vert\vert\mathbf{r_4}\vert\vert ... ...\\ 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ -4 \\ 3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

2. (15) Reiknið $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ með því að leysa jöfnuhneppið $(\mathbf{X}^T\mathbf{X})\hat{\boldsymbol{\beta}}= \mathbf{X}^T\mathbf{y}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}^T \mathbf{X}= \left[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 1 &... ...0 \\ 0 & 0 & 4 & -12 \\ 0 & 0 & -12 & 72 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}^T \mathbf{y}= \left[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 1 &... ...eft[ \begin{array}{r} 51 \\ 5 \\ 1 \\ -18 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\hat{\boldsymbol{\beta}}$ er 4x1 vigurinn sem inniheldur $\hat{\beta_1},\hat{\beta_2},\hat{\beta_3},\hat{\beta_4}$ og:

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{rrrr} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \... ...eft[ \begin{array}{r} 51 \\ 5 \\ 1 \\ -18 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

Þetta tilsvarar jöfnuhneppinu

$\begin{eqnarray*} 9 \hat{\beta_1} + 0\hat{\beta_2} + 0\hat{\beta_3} + 0\hat{\be... ...\beta_1} + 0\hat{\beta_2} -12\hat{\beta_3} 72\hat{\beta_4} &=-18 \end{eqnarray*}$

þ.e.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrrr} 9 \hat{\beta_1} & & & &=51 \\ & 4\hat{... ...=1 \\ & & -12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18 \end{array}\end{eqnarray*}$

Svo $\hat{\beta_1}=\frac{51}{9}=\frac{17}{3}$ og $\hat{\beta_2}=\frac{5}{4}$ og $\hat{\beta_4}, \hat{\beta_5}$ fást með því að leysa tvær jöfnur í tveimur óþekktum:

$\begin{eqnarray*} 4\hat{\beta_3} & -12\hat{\beta_4} &=1 \\ -12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18 \end{eqnarray*}$

sem má fyrst umrita þannig:

$\begin{eqnarray*} 12\hat{\beta_3} & -36\hat{\beta_4} &=3 \\ -12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18 \\ \hline & 36\hat{\beta_4} &=-15 \end{eqnarray*}$

þ.e. $\hat{\beta_4} =-15/36 = -5/12$ .

Hins vegar má umrita jöfnurnar þannig:

$\begin{eqnarray*} 24\hat{\beta_3} & -72\hat{\beta_4} &=6 \\ -12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18 \\ \hline 12\hat{\beta_3} & &=-12 \end{eqnarray*}$

þ.e. $\hat{\beta_3} =-1$ .

Svo að vigurinn $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ er gefinn með

$\begin{eqnarray*} \hat{\boldsymbol{\beta}} = \left[ \begin{array}{r} \beta_1 \\ ... ...t[ \begin{array}{r} 68 \\ 15 \\ -12 \\ -5 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

3. (10) Finnið þann vigur $\hat{\mathbf{y}}$ sem er ofanvarp y á span( a₁, a₂, a₃, a₄)= span( v₁, v₂, v₃, v₄).

Sá vigur í spanni dálka X-fylkisins sem liggur næst y er gefinn með $\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}$ , þ.e.

$\begin{eqnarray*} \hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}= \left[ \b... ...+0 & +0 & -2\cdot(-5) \\ \par\ldots \end{array} \right] =\ldots \end{eqnarray*}$

Einnig má reikna þennan vigur sem ofanvarpið á span( v₁, v₂, v₃, v₄), en það er einfaldast að gera með því að nota niðurstöður úr dæmi 1, þ.e. reikna

$\begin{eqnarray*} \hat{\mathbf{y}}=(y\cdot v_1)v_1 + (y\cdot v_2)v_2 + (y\cdot v_3)v_3 + (y\cdot v_4)v_4=\ldots \end{eqnarray*}$

4. (15) Teiknið mynd og nýtið hana til að finna þau gildi, x og y, sem lágmarka z= 2x+3y með tilliti til

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrr} (1) & 3x & -2y &\geq -6 \\ (2) & -2x& +y ... ... &\geq 8 \\ (4) & x & &\geq 0 \\ (5) & &y &\geq 0 \end{array} \end{eqnarray*}$

Finnum fyrst punkta á línunum, til að teikna þær upp (notum ásana þegar það er nóg):

(1) (0,3) og (-2,0)

(2) (0,0), en að auki er punkturinn (1,2) á línunni

(3) (0,8) og (4,0)

Skurðpunktar línanna innbyrðis eru gefnir með

(1 og 2) x=6, y=12

(1 og 3) x=10/7, y=36/7

(2 og 3) x=2, y=4

Af öllum ofangreindum punktum fæst lægst z-gildi í skurðpunkti (2) og (3), þ.e. (2,4) og þar er $z=2x+3y=2\cdot 2 + 3\cdot 4=16$ .

5. (10) Skoðanakönnun um tiltekna hálendisvirkjun náði til 1000 manns. Af þeim sem tóku afstöðu vildu 365 virkja en 390 vildu friða landið. Er munurinn marktækur?

Látum X vera hendingu sem lýsir þeim fjölda sem vill virkjun. Nú taka alls n=365+390=755 afstöðu og ef könnunin er rétt gerð verður X hending sem lýtur tvíkostadreifingu, þ.e. $X\sim b(n=755,p)$ .

Ef á hinn bóginn Y er hending sem lýsir því hve margir tóku ekki afstöðu, þá er alltaf X+Y=n og því eru X og Y ekki óháðar. Sama hlutfall er með og á móti ef þau eru bæði $\frac{1}{2}$ . Því má prófa núlltilgátuna $H_0:p=\frac{1}{2}$ á móti $H_a:p \neq \frac{1}{2}$ .

Athuga ber sérstaklega að þar sem hlutföllin með og á móti eru ekki óháð má ekki nota próf á núlltilgátunni H₀:p₁=p₂ þar sem er reiknað með því að tvær óháðar tvíkostadreifingar séu notaðar til að meta p₁ og p₂.

Ef núlltilgátan er rétt ætti z að koma (nokkurnvegin) úr normaldreifingu, þar sem z er reiknað sem

$\begin{eqnarray*} z=\frac{\hat{p}-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

og H₀ er hafnað ef |z| verður stærra en $z_{1-\alpha/2}=1.96$ . Hér fæst hins vegar

$\begin{eqnarray*} z=\frac{\hat{p}-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac... ...\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{755}}}=-0.9098 \end{eqnarray*}$

svo að ekki er unnt að hafna H₀, þ.e. munurinn með og á móti í úrtakinu er ekki marktækur.

6. (15) Á hæfnisprófi til framhaldsnáms eru 100 krossaspurningar. Þrír möguleikar eru á svari við hverri spurningu, merkja skal við einn möguleika og er gefið eitt stig fyrir rétt svar en núll fyrir rangt. Til að ná prófi þarf að ná 40% réttu svarhlutfalli.

a) Vermundur þekkir efni prófsins ekki neitt, en ákveður að treysta á eigin lukku og giskar á öll svörin. Hverjar eru líkurnar á að Vermundur nái prófinu?

Látum X vera hendinguna sem lýsir því, hve mörg rétt svör Vermundur fær á prófinu. Vermundur nær prófinu ef hann fær a.m.k. 40 rétt svör. Nú er verið að giska alveg óháð á allar spurningar, þannig að fjöldi réttra svara er úr tvíkostadreifingu, þ.e. $X\sim b(n=100,p=1/3)$ . Ekki er með góðu móti hægt að reikna upp úr þessari dreifingu nema með einhvers konar nálgun. Hér er np=100/3>5 og $nq=100\cdot 2/3>5$ svo nota má normaldreifingarnálgun.

$\begin{eqnarray*} P[\textrm{Vermundur nær}]=P[X>40] &= P[\frac{X-\mu}{\sigma}>\f... ...{2}}{\sqrt{100\frac{1}{3}\frac{2}{3}}}] \\ &= 1- \Phi ( \ldots \end{eqnarray*}$

b) Hverjar eru líkurnar á því að að minnsta kosti tveir af 10 nái prófinu ef allir giska á svör við öllum spurningunum?

Hér má nota þær líkur, $p=\ldots$ , sem reiknaðar voru í lið (a), á því að hver og einn nái prófinu. Y=fj. af 10, svo $Y\sim b(n=10, p=\ldots)$

$P[Y \geq 2 ]= 1-P[Y \le 1] = 1 - P[Y=0] - P[Y=1] =1 - {n \choose 0}p^0(1-p)^{(n-0)} - {n \choose 1}p^1(1-p)^{(n-1)} \ldots$

7. (20) Mælingar á samfelldri breytu y voru gerðar á tveimur stöðum á landinu (m=1,2) og við mismunandi samfelldar stillingar (x) á tilteknu tæki.

x 1 2 4 5 1 2 4 5

y 2 4 5 5 3 4 4 6

m 1 1 1 1 2 2 2 2

Þessi gögn voru sett inn í tölfræðipakka til að kanna, hvaða atriði hafa áhrif á mælingarnar. Annars vegar var sett upp einfalt líkan, $y=\alpha + \beta x + e$ og hins vegar flóknara líkan, $y=\alpha _m + \beta _m x + e$ , en einnig er áhugavert að kanna svæðamun, þ.e. prófa hvort meðaltölin séu óháð svæðum.

Notað var SAS-forritið:

Einfalt líkan            Flókið líkan
proc glm;                proc glm;
                          classes m;
  model y=x;              model y=m m*x;

og eru útkomur sýndar á meðfylgjandi útprentunum.

(a) Er marktækur munur á meðaltölum mælinganna eftir stöðum á landinu?

Hér má taka ofangreindar mælingar og vinna úr þeim beint, þ.e. líta á mælingarnar fyrir m=1, þ.e. y=2, 4, 5, 5 og mælingarnar fyrir m=2, þ.e. y=3, 4, 4, 6, sem mælingar á tveimur hópum og gera síðan t-próf á mismun á tveimur meðaltölum.

Einnig má líta á F-prófið fyrir þættinum m í SAS-úttakinu undir Type I SS og athuga, hvort P-gildið er minna en 0.05. Athuga ber, að þetta er ekki jafngilt t-prófinu, því SSE í þessu líkani tekur einnig tillit til x.

Til að svara spurningunni nákvæmlega mætti því vinna ígildi t-prófsins úr úr SAS-töflunni, með því að taka heildar kvaðratsummuna (SSTOT) og athuga eingöngu hvað m útskýrir af henni og setja þannig upp nýja ANOVA töflu. Úr þeim reikningum fæst F=t².

(b) Er marktækt samhengi milli x og y?

Þessu er svarað með því að líta á prófið fyrir því hvort $\beta=0$ í SAS úttakinu.

R² er gefið í SAS úttakinu og hér nægir að taka af því kvaðratrót til að fá r.

(d) Skrifa má einfaldara líkanið þannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha +\beta x_{i}, \sigma^2 \right)$ , og matið á stuðlunum verður $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\sigma}$ , ásamt tilsvarandi óvissumati, t.d. $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$ .