09.10.16 Lnuleg algebra og tlfri, des 1999 - lausnaraferir

Leyfileg hjlparggn: Dauir hlutir.

Noti 5% marktknikrfu nema anna s teki fram.

Vgi dma er gefi svigum. Alls eru stigin 100 en 85 stig teljast full lausn.

1. (15) Skilgreini fylki X og vigurinn y (sem einnig vera notu dmum 2-3) eftirfarandi htt

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m...
...1 & 4 \\
1 & 0 & 0 & -4 \\
1 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r}
5 \\
4 \\
3 \\
6 \\
7 \\
5 \\
7 \\
8 \\
6
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


ar sem a1, a2, a3 og a4 eru dlkar fylkisins, ritair sem dlkvigrar.

Finni hornrttan einingargrunn { v1, v2, v3 , v4 } fyrir span( a1, a2, a3, a4) me Gram-Schmidt afer.

Ath: Flest innfeldin eru 0.

Byrjum: $\vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert=\sqrt {1+1+...+1} =\sqrt {9}=3$

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_1 }=\mathbf{a_1} / \vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert ...
...1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


Reikna leif

\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_2 }=\mathbf{a_2} -
\underbrace {
\left ( \mathbf{a_...
... \\
1 \\
0 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og einingarvigurinn:

$\vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert=\sqrt {0+0+1+1+0+1+1+0+0} =\sqrt {4}=2$

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_2 }=\mathbf{r_2} / \vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert ...
... \\
1 \\
0 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


Svo kemur v3 - reikna leif

\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_3 }=\mathbf{a_3} -
\underbrace {
\left ( \mathbf{a_...
... \\
0 \\
0 \\
0 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og einingarvigurinn:

$\vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert=\sqrt {1+0+1+0+0+0+1+0+1} =\sqrt {4}=2$

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_3 }=\mathbf{r_3} / \vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert ...
... \\
0 \\
0 \\
0 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


Svo kemur v4 - reikna leif

\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_4 }=\mathbf{a_4} -
\underbrace {
\left ( \mathbf{a_...
...\\
0 \\
-2 \\
0 \\
1 \\
-4 \\
3
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og reiknum einingarvigurinn:

$\vert\vert\mathbf{r_4}\vert\vert=\sqrt {1+4+1+0+4+0+1+16+9}
=\sqrt {36}=6$

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_4 }=\mathbf{r_4} / \vert\vert\mathbf{r_4}\vert\vert ...
...\\
0 \\
-2 \\
0 \\
1 \\
-4 \\
3
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


2. (15) Reikni $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ me v a leysa jfnuhneppi $(\mathbf{X}^T\mathbf{X})\hat{\boldsymbol{\beta}}=
\mathbf{X}^T\mathbf{y}$.


\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}^T
\mathbf{X}=
\left[ \begin{array}{rrrrrrrrr}
1 &...
...0 \\
0 & 0 & 4 & -12 \\
0 & 0 & -12 & 72
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og


\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}^T
\mathbf{y}=
\left[ \begin{array}{rrrrrrrrr}
1 &...
...eft[ \begin{array}{r}
51 \\
5 \\
1 \\
-18
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


$\hat{\boldsymbol{\beta}}$ er 4x1 vigurinn sem inniheldur $\hat{\beta_1},\hat{\beta_2},\hat{\beta_3},\hat{\beta_4}$ og:


\begin{eqnarray*}
\left[ \begin{array}{rrrr}
9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 0 \...
...eft[ \begin{array}{r}
51 \\
5 \\
1 \\
-18
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


etta tilsvarar jfnuhneppinu


\begin{eqnarray*}
9 \hat{\beta_1} + 0\hat{\beta_2} + 0\hat{\beta_3} + 0\hat{\be...
...\beta_1} + 0\hat{\beta_2} -12\hat{\beta_3} 72\hat{\beta_4} &=-18
\end{eqnarray*}


.e.


\begin{eqnarray*}
\begin{array}{rrrrr}
9 \hat{\beta_1} & & & &=51 \\
& 4\hat{...
...=1 \\
& & -12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18
\end{array}\end{eqnarray*}


Svo $\hat{\beta_1}=\frac{51}{9}=\frac{17}{3}$ og $\hat{\beta_2}=\frac{5}{4}$ og $\hat{\beta_4}, \hat{\beta_5}$ fst me v a leysa tvr jfnur tveimur ekktum:


\begin{eqnarray*}
4\hat{\beta_3} & -12\hat{\beta_4} &=1 \\
-12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18
\end{eqnarray*}


sem m fyrst umrita annig:


\begin{eqnarray*}
12\hat{\beta_3} & -36\hat{\beta_4} &=3 \\
-12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18 \\
\hline
& 36\hat{\beta_4} &=-15
\end{eqnarray*}


.e. $\hat{\beta_4} =-15/36 = -5/12$.

Hins vegar m umrita jfnurnar annig:


\begin{eqnarray*}
24\hat{\beta_3} & -72\hat{\beta_4} &=6 \\
-12\hat{\beta_3} & +72\hat{\beta_4} &=-18 \\
\hline
12\hat{\beta_3} & &=-12
\end{eqnarray*}


.e. $\hat{\beta_3} =-1$.

Svo a vigurinn $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ er gefinn me


\begin{eqnarray*}
\hat{\boldsymbol{\beta}}
=
\left[ \begin{array}{r}
\beta_1 \\ ...
...t[ \begin{array}{r}
68 \\
15 \\
-12 \\
-5
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


3. (10) Finni ann vigur $\hat{\mathbf{y}}$ sem er ofanvarp y span( a1, a2, a3, a4)= span( v1, v2, v3, v4).

S vigur spanni dlka X-fylkisins sem liggur nst y er gefinn me $\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}$, .e.


\begin{eqnarray*}
\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}=
\left[ \b...
...+0 & +0 & -2\cdot(-5) \\
\par\ldots
\end{array} \right]
=\ldots
\end{eqnarray*}


Einnig m reikna ennan vigur sem ofanvarpi span( v1, v2, v3, v4), en a er einfaldast a gera me v a nota niurstur r dmi 1, .e. reikna


\begin{eqnarray*}
\hat{\mathbf{y}}=(y\cdot v_1)v_1 + (y\cdot v_2)v_2 + (y\cdot v_3)v_3 + (y\cdot v_4)v_4=\ldots
\end{eqnarray*}


4. (15) Teikni mynd og nti hana til a finna au gildi, x og y, sem lgmarka z= 2x+3y me tilliti til

\begin{eqnarray*}
\begin{array}{rrrr}
(1) & 3x & -2y &\geq -6 \\
(2) & -2x& +y ...
... &\geq 8 \\
(4) & x & &\geq 0 \\
(5) & &y &\geq 0
\end{array}
\end{eqnarray*}


Finnum fyrst punkta lnunum, til a teikna r upp (notum sana egar a er ng):

(1) (0,3) og (-2,0)

(2) (0,0), en a auki er punkturinn (1,2) lnunni

(3) (0,8) og (4,0)

Skurpunktar lnanna innbyris eru gefnir me

(1 og 2) x=6, y=12

(1 og 3) x=10/7, y=36/7

(2 og 3) x=2, y=4

Af llum ofangreindum punktum fst lgst z-gildi skurpunkti (2) og (3), .e. (2,4) og ar er $z=2x+3y=2\cdot 2 + 3\cdot 4=16$.

5. (10) Skoanaknnun um tiltekna hlendisvirkjun ni til 1000 manns. Af eim sem tku afstu vildu 365 virkja en 390 vildu fria landi. Er munurinn marktkur?

Ltum X vera hendingu sem lsir eim fjlda sem vill virkjun. N taka alls n=365+390=755 afstu og ef knnunin er rtt ger verur X hending sem ltur tvkostadreifingu, .e. $X\sim b(n=755,p)$.

Ef hinn bginn Y er hending sem lsir v hve margir tku ekki afstu, er alltaf X+Y=n og v eru X og Y ekki har. Sama hlutfall er me og mti ef au eru bi $\frac{1}{2}$. v m prfa nlltilgtuna $H_0:p=\frac{1}{2}$ mti $H_a:p \neq \frac{1}{2}$.

Athuga ber srstaklega a ar sem hlutfllin me og mti eru ekki h m ekki nota prf nlltilgtunni H0:p1=p2 ar sem er reikna me v a tvr har tvkostadreifingar su notaar til a meta p1 og p2.

Ef nlltilgtan er rtt tti z a koma (nokkurnvegin) r normaldreifingu, ar sem z er reikna sem

\begin{eqnarray*}
z=\frac{\hat{p}-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{n}}}
\end{eqnarray*}


og H0 er hafna ef |z| verur strra en $z_{1-\alpha/2}=1.96$. Hr fst hins vegar


\begin{eqnarray*}
z=\frac{\hat{p}-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac...
...\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{755}}}=-0.9098
\end{eqnarray*}


svo a ekki er unnt a hafna H0, .e. munurinn me og mti rtakinu er ekki marktkur.

6. (15) hfnisprfi til framhaldsnms eru 100 krossaspurningar. rr mguleikar eru svari vi hverri spurningu, merkja skal vi einn mguleika og er gefi eitt stig fyrir rtt svar en nll fyrir rangt. Til a n prfi arf a n 40% rttu svarhlutfalli.

a) Vermundur ekkir efni prfsins ekki neitt, en kveur a treysta eigin lukku og giskar ll svrin. Hverjar eru lkurnar a Vermundur ni prfinu?

Ltum X vera hendinguna sem lsir v, hve mrg rtt svr Vermundur fr prfinu. Vermundur nr prfinu ef hann fr a.m.k. 40 rtt svr. N er veri a giska alveg h allar spurningar, annig a fjldi rttra svara er r tvkostadreifingu, .e. $X\sim b(n=100,p=1/3)$. Ekki er me gu mti hgt a reikna upp r essari dreifingu nema me einhvers konar nlgun. Hr er np=100/3>5 og $nq=100\cdot 2/3>5$ svo nota m normaldreifingarnlgun.


\begin{eqnarray*}
P[\textrm{Vermundur nr}]=P[X>40] &= P[\frac{X-\mu}{\sigma}>\f...
...{2}}{\sqrt{100\frac{1}{3}\frac{2}{3}}}] \\
&= 1- \Phi ( \ldots
\end{eqnarray*}


b) Hverjar eru lkurnar v a a minnsta kosti tveir af 10 ni prfinu ef allir giska svr vi llum spurningunum?

Hr m nota r lkur, $p=\ldots$, sem reiknaar voru li (a), v a hver og einn ni prfinu. Y=fj. af 10, svo $Y\sim b(n=10, p=\ldots)$

$P[Y \geq 2 ]= 1-P[Y \le 1] = 1 - P[Y=0] - P[Y=1]
=1 - {n \choose 0}p^0(1-p)^{(n-0)} - {n \choose 1}p^1(1-p)^{(n-1)}
\ldots$

7. (20) Mlingar samfelldri breytu y voru gerar tveimur stum landinu (m=1,2) og vi mismunandi samfelldar stillingar (x) tilteknu tki.

x 1 2 4 5 1 2 4 5    
y 2 4 5 5 3 4 4 6    
m 1 1 1 1 2 2 2 2    

essi ggn voru sett inn tlfripakka til a kanna, hvaa atrii hafa hrif mlingarnar. Annars vegar var sett upp einfalt lkan, $y=\alpha + \beta x + e$ og hins vegar flknara lkan, $y=\alpha _m +
\beta _m x + e$, en einnig er hugavert a kanna svamun, .e. prfa hvort mealtlin su h svum.

Nota var SAS-forriti:

Einfalt lkan            Flki lkan
proc glm;                proc glm;
                          classes m;
  model y=x;              model y=m m*x;
og eru tkomur sndar mefylgjandi tprentunum.

(a) Er marktkur munur mealtlum mlinganna eftir stum landinu?

Hr m taka ofangreindar mlingar og vinna r eim beint, .e. lta mlingarnar fyrir m=1, .e. y=2, 4, 5, 5 og mlingarnar fyrir m=2, .e. y=3, 4, 4, 6, sem mlingar tveimur hpum og gera san t-prf mismun tveimur mealtlum.

Einnig m lta F-prfi fyrir ttinum m SAS-ttakinu undir Type I SS og athuga, hvort P-gildi er minna en 0.05. Athuga ber, a etta er ekki jafngilt t-prfinu, v SSE essu lkani tekur einnig tillit til x.

Til a svara spurningunni nkvmlega mtti v vinna gildi t-prfsins r r SAS-tflunni, me v a taka heildar kvaratsummuna (SSTOT) og athuga eingngu hva m tskrir af henni og setja annig upp nja ANOVA tflu. r eim reikningum fst F=t2.

(b) Er marktkt samhengi milli x og y?

essu er svara me v a lta prfi fyrir v hvort $\beta=0$ SAS ttakinu.

(c) Hver er fylgnin milli x og y?

R2 er gefi SAS ttakinu og hr ngir a taka af v kvaratrt til a f r.

(d) Skrifa m einfaldara lkani annig: $Y_i \sim n\left ( \alpha +\beta x_{i}, \sigma^2 \right)$, og mati stulunum verur $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\sigma}$, samt tilsvarandi vissumati, t.d. $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$.

Hver eru reiknuu gildin $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$, $\hat{\sigma}$ og $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$?

essi gildi eru ll gefin SAS ttakinu.

(e) Prfi nlltilgtuna $H_0: \beta = 1$ einfaldara lkaninu.

Hr arf a reikna

$t=\frac{\beta - 1 }{\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}}$

og bera saman vi t-dreifingu me n-2 frgrum.

(f) Er marktkt betra a vera me flki lkan heldur en einfalt?

Hr arf a bera saman SSE flknu og einfldu lkani, .e. reikna


\begin{displaymath}
F= \frac{(SSE(R)-SSE(F))/(p-r)}
{SSE(F)/(n-p)}
\end{displaymath} (1)

sem kemur r F-dreifingu me p-r og n-p frgrum ef nlltilgtan er rtt.