09.10.16 Lnuleg algebra og tlfri

Lausnir prfi, des. 2000

Ltum fylki X vera

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m...
... 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og vigurinn y vera


\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r}
1 \\
2 \\
1 \\
3 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


1. (10) Finni ann vigur $\boldsymbol{\hat{\beta}}$ sem gefur lgsta gildi $\vert\vert\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\vert\vert^2$ yfir alla hugsanlega vigra $\boldsymbol{\beta}$.

Athugi, a tt vissulega s rtt, a $\boldsymbol{\hat{\beta}}=\left (
\mathbf{X'} \mathbf{X} \right ) ^{-1} \mathbf{X'} \mathbf{y}$, er X' X 4 x 4 fylki og ekki hefur veri fari , hvernig a finna andhverfu af v. Hr er etta fylki a vsu einfaldara en oftast, en samt vefst fyrir mrgum, hvernig a finna slka andhverfu.

Hr er v einfaldast a leysa normaljfnurnar, .e. finna $\boldsymbol{\hat{\beta}}$ sem uppfyllir $\left ( \mathbf{X'} \mathbf{X}
\right ) \boldsymbol{\hat{\beta}} = \mathbf{X'} \mathbf{y}$.

Vi reiknum v fyrst $\left ( \mathbf{X'} \mathbf{X} \right )$-fylki:


\begin{eqnarray*}
\left ( \mathbf{X'} \mathbf{X}
\right ) =
\left[ \begin{array...
... & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 2
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og vnst margfldum vi saman X' og y:


\begin{eqnarray*}
\mathbf{X'} \mathbf{y}=
\left[ \begin{array}{rrrrr}
3 &3 &4 &...
...eft[ \begin{array}{r}
16 \\
14 \\
-2 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


vitum vi a $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ er 4x1 vigurinn sem inniheldur $\hat{\beta_1},\hat{\beta_2},\hat{\beta_3},\hat{\beta_4}$ og uppfyllir:


\begin{eqnarray*}
\left[ \begin{array}{rrrr}
36 & 24 & 0 & 0 \\
24 & 20 & 0 & 0...
...eft[ \begin{array}{r}
16 \\
14 \\
-2 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


etta tilsvarar jfnuhneppinu


\begin{eqnarray*}
36 \hat{\beta_1} + 24\hat{\beta_2} + 0\hat{\beta_3} + 0\hat{\...
...{\beta_1} + 0\hat{\beta_2} + 2\hat{\beta_3} + 2\hat{\beta_4} &=1
\end{eqnarray*}


.e.


\begin{eqnarray*}
36 \hat{\beta_1} + 24\hat{\beta_2} & &=16 \\
24 \hat{\beta_...
...+ 2\hat{\beta_4} &=-1 \\
& 2\hat{\beta_3} + 2\hat{\beta_4} &=1
\end{eqnarray*}


Hr einfaldast jfnurnar v annig, a annars vegar fst tvr jfnur tveimur ekktum til a finna $\hat{\beta_1}, \hat{\beta_2}$ og hins vegar tvr jfnur tveimur ekktum til a finna $\hat{\beta_3},
\hat{\beta_4}$.

Vi byrjum $\hat{\beta_1}, \hat{\beta_2}$:

\begin{eqnarray*}
36 \hat{\beta_1} + 24\hat{\beta_2} &=16 \\
24 \hat{\beta_1} + 20\hat{\beta_2} &=14
\end{eqnarray*}


Deila m me 2 sari jfnuna og margfalda hana san me 3 til a f stuulinn 36 $\hat{\beta_1}$ bum. Gerum etta og drgum san neri jfnuna fr eirri efri:


\begin{eqnarray*}
36 \hat{\beta_1}&+ 24\hat{\beta_2} &=16 \\
-36 \hat{\beta_1}&- 30\hat{\beta_2} &=-21 \\
\hline
& -6\hat{\beta_2} &=-5
\end{eqnarray*}


.e.a.s.

$\hat{\beta_2} = \frac{5}{6}$. fst lka me efri jfnunni, a $16= 36 \hat{\beta_1} + 24 \frac{5}{6} = 36 \hat{\beta_1} + 20$, .e. $ \hat{\beta_1}=-\frac{1}{9}$.

A lokum finnum vi $\hat{\beta_3},
\hat{\beta_4}$ r sari jfnunum:

\begin{eqnarray*}
4\hat{\beta_3} + 2\hat{\beta_4} &=-2 \\
2\hat{\beta_3} + 2\hat{\beta_4} &=1
\end{eqnarray*}


Hr m margfalda sari jfnuna me -1 og leggja r saman (.e. vi getum dregi neri jfnuna fr eirri efri):


\begin{eqnarray*}
4\hat{\beta_3} &+ 2\hat{\beta_4} &=-2 \\
-2\hat{\beta_3} &- 2\hat{\beta_4} &=-1 \\
\hline
2 \hat{\beta_3} & &= -3
\end{eqnarray*}


.e. $\hat{\beta_3} = -\frac{3}{2} $

fst lka me efri jfnunni, a $-2= 4 ( -\frac{3}{2}) +
2\hat{\beta_4} = -6 + 2\hat{\beta_4}$, .e. $\hat{\beta_4}= 2$.

Vigurinn $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ er v gefinn me


\begin{eqnarray*}
\hat{\boldsymbol{\beta}}
=
\left[ \begin{array}{r}
\beta_1 \\ ...
...1}{9} \\
\frac{5}{6} \\
-\frac{3}{2} \\
2
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


2. (15) Finni hornrttan einingargrunn fyrir sp{ a1, a2. a3, a4 }.

Notum Gram-Schmidt afer og athugum a mrg innfeldanna vera nll.

Byrjum a athuga, a fyrsta normi er : $\vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert=\sqrt
{3^2+3^2+4^2+1^2+1^2} =\sqrt {36}=6$ og v fst fyrsti einingarvigurinn annig:

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_1 }=\mathbf{a_1} / \vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert ...
... \begin{array}{r}
3 \\
3 \\
4 \\
1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


Nst reiknum vi ofanvarp a2 ennan vigur og leifina fr v ofanvarpi:


\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_2 }=\mathbf{a_2} -
\underbrace {
\left ( \mathbf{a_...
...egin{array}{r}
0 \\
0 \\
-1 \\
2 \\
2
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


fst strax, a $\vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert= \frac{2}{3}\sqrt {0+0+1+4+4} = \frac{2}{3}\sqrt {9}=2$ og fst nsti einingavigur sem

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_2 }=\mathbf{r_2} / \vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert ...
...egin{array}{r}
0 \\
0 \\
-1 \\
2 \\
2
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


Svo kemur riji einingarvigurinn, v3. Byrjum eins og ur a reikna leif


\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_3 }=\mathbf{a_3} -
\underbrace {
\left ( \mathbf{a_...
...{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og einingarvigurinn fst me v a byrja a finna lengdina, $\vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert=\sqrt {1+1+0+1+1} =\sqrt {4}=2$ og deila svo me henni:


\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_3 }=\mathbf{r_3} / \vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert ...
...{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


er komi a sasta einingavigrinum, v4. Byrjum a finna leifina,

\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_4 }=\mathbf{a_4} -
\underbrace {
\left ( \mathbf{a_...
...{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og annig fst

\begin{eqnarray*}
\mathbf{r_4 }= \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
1 \\
-1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


Norm leifarinn er $\vert\vert\mathbf{r_4}\vert\vert=\frac{1}{2}\sqrt
{1+1+0+1+1}=\frac{1}{2}\sqrt {4}=1$ svo einigarvigurinn verur einfaldlega leifin sjlf:


\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_4 }=\mathbf{r_4} / \vert\vert\mathbf{r_4}\vert\vert ...
...{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
1 \\
-1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


3. (5) Finni ofanvarpi, $\hat{\mathbf{y}}$, af y spann dlkvigra fylkisins X.

etta m gera me hvort sem er me $\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\boldsymbol{\hat{\beta}}$ og nota niurstu r dmi 1 ea nota sr a $\hat{\mathbf{y}}$ er ofanvarpi af y $span\{a_1,\ldots ,a_4\}=span\{v_1,\ldots ,v_4\}$, .e. finna ofanvarp y $span\{v_1,\ldots ,v_4\}$. Fyrri aferin er neitanlega miklu fljtlegri.


\begin{eqnarray*}
\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\boldsymbol{\hat{\beta}}=\left [ \b...
...
5/6 \\
11/6 \\
11/9 \\
55/18 \\
1/18
\end{array} \right ]
\end{eqnarray*}


4. (15) Teikni mynd og nti hana til a finna au gildi, x og y, sem hmarka z= 3x+2y me tilliti til

\begin{eqnarray*}
-3x+y \leq -2 \\
2x-y \leq 5 \\
2x+y \leq 8 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0
\end{eqnarray*}


Figure 1: Lnur bestunardmi

Skurpunktur lna 1 og 3 er (x,y)=(2,4) og ar er z=14, sem er greinilega hsta mgulega gildi z.

5. (15) teningakasti fjrhttuspilara var sett merki annan teninginn og fylgst ni me tkomum hvorum teningi fyrir sig. Eftir 50 kst kom ljs a rum teningnum hafi 6 komi upp 11 sinnum en hinum 15 sinnum.

(a) Er hgt a fullyra a munur s teningunum?

Hr arf a prfa

H0: p1=p2 vs $H_a:p_1\ne p_2$

Ef H0 er rtt m meta sameiginlegt p me $\hat{p}=\frac{11+15}{50+50}=\frac{26}{100}=\frac{13}{50}$ og vi skilgreinum $\hat{q}=1-\hat{p}=\frac{37}{50}$. Ef tilgtan er rtt vitum vi ennfremur a


$\displaystyle z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt { \hat{p}\hat{q}\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right ) }}$     (1)

(ar sem n og m eru rtaksstrirnar) a tilsvara tlu sem hefur ``komi r normaldreifingu'' og vi hfnum v H0 ef $z>z_{1-\alpha}=z_{0.95}=1.645$ (einhlia prf me $\alpha=0.05$)

Hr fst hins vegar $\hat{p}_1=\frac{11}{50}$ og $\hat{p}_2=\frac{15}{50}$ annig a


$\displaystyle z=\frac{\frac{11}{50}-\frac{15}{50}}{\sqrt{\frac{13}{50}\frac{37}{50}\left ( \frac{1}{50}+\frac{1}{50}\right ) } } = \ldots = -0.912$     (2)

Hr er v ekki hgt a hafna H0, munurinn er ekki marktkur.

(b) Fullyrt hefur veri a fjrhttuspilarinn s me teninga sem su falsair me v a setja kveinn aukinn unga mti 6-hliinni (og auka annig lkur 6 kveinn htt). Er essi fullyring rttltanleg?

Her arf a athuga, hvort marktkur munur s teningunum, fr teningi sem er bjagaur. bjagaur teningur hefur lkurnar $\frac{1}{6}$ hverri hli og hr er v haldi fram a tengingarnir su me meiri lkum a f ``6''. Hr er elilegt a gera einhlia prf (varla fri neinn a vega niur lkurnar a f ``6''):

$H_0: p=\frac{1}{6}$ vs $H_a:p>\frac{1}{6}$.

Tveir teningar voru notair kastinu a ofan og ljs kom a munurinn eim var ekki marktkur. Gerum r fyrir a eir su dmigerir fyrir teninga sem fjrhttuspilarinn notar og vi hfum v mat hans teningum me $\hat{p}=\frac{26}{100}$. Ef H0 er rtt tti talan


\begin{eqnarray*}
z=\frac{\hat{p}-\hat{p}_0}{\sqrt { \hat{p_0}\hat{q_0}/{n}}}
\end{eqnarray*}


a ``koma r normaldreifingu''.

6. (15) Krukka nokkur inniheldur 8 klur, 5 rauar og 3 blar. Draga skal tilviljanakennt eina klu einu r krukkunni, me skilum.

Ltum Y tkna fjlda raura klna sem fst ur en bl kla kemur ef dregi er risvar sinnum (setjum Y=3 ef ekki kemur nein bl).

(a) Setji upp lkindadreifingu Y.

Athugum, a Y hefur ekki neina lkindadreifingu, sem fari hefur veri essu nmskeii. Srlagi hefur Y ekki tvkostadreifingu.

Mgulegar tkomur (grunnatburir) r tilrauninni ar sem dregnar eru 3 klur eru alls 8: (BBB), (BBR), (BRB), (BRR), (RBB), (RBR), (RRB), (RRR). arna er dregi me skilum annig a lkur B eru 3/8 og R eru 5/8. Lkur hverri tkomu samt tilsvarandi gildi, y Y eru eftirfarandi:

tkoma lkur y
BBB $\frac{3}{8}^3\frac{5}{8}^0=1\cdot 27 / 512 = 27/512 $ 0
BBR $\frac{3}{8}^2\frac{5}{8}^1=5\cdot 9 / 512 = 45/512 $ 0
BRB $\frac{3}{8}^2\frac{5}{8}^1=5\cdot 9 / 512 = 45/512 $ 0
BRR $\frac{3}{8}^1\frac{5}{8}^2=25\cdot 3 / 512 = 75/512 $ 0
RBB $\frac{3}{8}^2\frac{5}{8}^1=5\cdot 9 / 512 = 45/512 $ 1
RBR $\frac{3}{8}^1\frac{5}{8}^2=25\cdot 3 / 512 = 75/512 $ 1
RRB $\frac{3}{8}^1\frac{5}{8}^2=25\cdot 3 / 512 = 75/512 $ 2
RRR $\frac{3}{8}^0\frac{5}{8}^3=125\cdot 1 / 512= 125/512 $ 3
Alls 1  

Me v a leggja saman r essari tflu fst lkur hverju hugsanlegu gildi hendingunni Y:
y p(y)=P[Y=y]  
0 192/512  
1 120/512  
2 75/512  
3 125/512  
Alls 1  

(b) Reikni vntigildi Y.

Vntigildi arf a reikna me grunnjfnunni: $E[Y]=\sum_y y \cdot
p(y) = 0 \cdot 192/512 +1 \cdot 120/512 +2 \cdot 75/512 +3 \cdot
125/512 =\ldots$

Ltum hendinguna X tkna fjlda raura klna sem fst. Skrifi niur vieigandi jfnur og reikni:

Athugum, a $X\sim b(n,p=\frac{5}{8})$

(c) Vntigildi X ef dregi er 10 sinnum.

$E[X]=n\cdot p=10\cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{4}$.

(d) Lkurnar v a f a.m.k. tvr rauar klur ef dregi er 10 sinnum.

$P[X \geq 2 ] = 1-P[X<2] = 1-(P[X=0]+P[X=1])$ reiknast samkvmt tvkostadreifingu: $P[X \geq 2 ] = 1
-{10 \choose 0}\frac{5}{8}^0\frac{3}{8}^{10}
-{10 \choose 1}\frac{5}{8}^1\frac{3}{8}^9$

(e) Lkurnar v a f 40 ea frri rauar klur ef dregi er 100 sinnum.

Reiknast me normaldreifingarnlgun.

7. (15) Tilraun var framkvmd tveimur stum me eftirfarandi niurstum:

Staur 1 2
n 5 6
$\bar{x}$ 2.5 3.7
s 0.4 0.3

Er marktkur munur mealtlunum?

Hr m alls ekki nota normaldreifingarnlgunina, .e.a.s. reikna me v a $s_1=\sigma_1$ og $s_2=\sigma_2$ v til ess er rtaki allt of lti.

Vi reiknum me v a $\sigma_1=\sigma_2$ og metum sameiginlegt staalfrvik s me v a reikna $s^2=\frac{(n_1-1)s_1^2
+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$ og vnst $t=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{s\sqrt{1/n_1+1/n_2}}=\ldots=5.66$. Tilsvarandi tflugildi er t*=2.262 og munurinn er v marktkur.

8. (25) hugi er a kanna mum tveimur ahvarfsgreiningarlnum, .e. a prfa hvort s marktkt betra a leggja tvr lnur frekar en eina gegnum ggn (xi,yi) r tveimur knnunum, annars vegar hj krlum (1) og hins vegar konum (2). hverri knnun eru fjrar mlingar.

etta m gera me v a sma annars vegar einfalt lkan (lkan R),


\begin{displaymath}
y_{ij}=\alpha + \beta x_{ij} + e_{ij} \textrm{ fyrir } i=1, \ldots 2, j=1,\ldots,4 \textrm{(lna R)}
\end{displaymath} (3)

og hins vegar flki lkan (lkan F) og bera au san saman. Stular flkna lkaninu eru metnir me v a leggja eina lnu gegnum hvert gagnasafn:


\begin{displaymath}
y_{1j}=\alpha_1 + \beta_1 x_{1j} + e_{1j} \textrm{ fyrir } j=1,\ldots,4, \textrm{(lna F1)}
\end{displaymath} (4)


\begin{displaymath}
y_{2j}=\alpha_2 + \beta_2 x_{2j} + e_{2j} \textrm{ fyrir } j=1,\ldots,4, \textrm{(lna F2)}
\end{displaymath} (5)

essu til vibtar er prfa millilkan (M) me breytilegum skurpunkti:

\begin{displaymath}
y_{ij}=\alpha_i + \beta x_{ij} + e_{ij} \textrm{ fyrir } i=1, \ldots 2, j=1,\ldots,4, \textrm{(lna M)}
\end{displaymath} (6)

Mefylgjandi bl gefa SAS skipanir og ttak sem snir metna stula og helstu tflur me fervikagreiningum. Muni a rkstyja svrin hr a nean me beinum tilvsunum tlur r tflum.

Spurningar a nean eru flestallar me beina tilvsun tilteknar tlur SAS ttakinu og arf litlu vi a bta. eru 2-3 spurningar sem ekki eru svo einfaldar.

Spurningar me tilvsunum lkn R og F

(a) Hva tskrir einfalda lkani htt hlutfall af breytileika gagnanna og hver er fylgnin milli x og y?

Hlutfall af breytileika = R2 og fylgnin=r. Athuga arf formerki r - ekki er alltaf ng a draga kvaratrt (en a ngir hr).

(b) Hvert er mati, $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$ og $\hat{\sigma}^2$, stulunum $\alpha$ og $\beta$ og dreifni mlinganna, $\sigma^2$?

Athugi, a $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$ og $\hat{\sigma}^2$ eru r einfalda lkaninu (annars eru etta sr tlur fyrir karla ea konur).

(c) Er skurpunkturinn einfalda lkaninu marktkt frbruginn nlli?

Athugi a etta er skurpunkturinn sem veri er a tala um, ekki hallinn.

(d) Noti flkna lkani til a finna besta spgildi (.e. minnstu kvarata mat) y fyrir karl sem hefur x=2.5.

Hr arf a vita, hvaa jfnu er veri a nota, finna stulana hana og reikna san upp r jfnunni me x=2.5.

(e) Hver eru gildin kvaratsummum frvika hvoru lkani fyrir sig, .e. SSE(F) og SSE(R)?

SSE(R) er tprentun, en ekki SSE(F). Hins vegar er raun gefi skyn spurningunni, hva SSE(F) er: Fullt lkan er meti me v a meta sr fyrir karla og konur. a er hgt vegna ess a egar kvaratsumman er lgmrku flkna lkaninu eru kvaratsummurnar alveg askildar. Raunar gildir augljslega alltaf SSE(F)=SSE(F1)+SSE(F2) v aeins er veri a skipta upp ggnunum (og arme kvaratsummunum).

(f) Prfi (me v a setja upp vieigandi ANOVA tflu) hvort flkna lkani (F) er marktkt betra en einfalda lkani (R).

Hr arf a nota SSE(F) og SSE(R) r (e)-linum.

Spurningar me tilvsun millilkani M

(g) Hva er SSE essu lkani, .e. $y_{ij}=\alpha_i + \beta x_{ij} + e_{ij}$?

(h) Hva yri SSE lkaninu $y_{ij}=\alpha_i + e_{ij}$?

Hr arf a skilja Type I og/ea Type III kvaratsummurnar, .e. vita hvernig SSE breytist ef li er sleppt r lkaninu.