next up previous
Next: About this document ...

Hįskóli Ķslands   Raunvķsindadeild
  09.10.16 Lķnuleg algebra og tölfręši  
Mišvikudagur 19. desember 2001 LAUSNIR

Eftirfarandi fylki $\mathbf{X}$ og vigur $\mathbf{y}$ verša notuš ķ dęmum 1 og 2:

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -2 \\
1 & 2 &...
...
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
3 \\
1 \\
2 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

1. (15) Ritiš fylkiš $\mathbf{X}$ sem safn dįlkvigra, $\mathbf{X}=\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots
\mathbf{a_3} \right] $ og finniš hornréttan einingargrunn, fyrir $V=sp\{\mathbf{a_1} , \mathbf{a_2} , \mathbf{a_3} \}$.

Hér notum viš Gram-Schmidt til aš smķša einingargrunninn. Vigrarnir sem liggja til grundvallar eru dįlkvigrarnir ķ $\mathbf{X}$, žannig aš t.d. er

\begin{eqnarray*}
\mathbf{a_1}= (1,1,1,1,1,1,1,1,1)' =
\left[ \begin{array}{r}
1...
...1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

Nś er $\vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert=\sqrt{1^2+\ldots+1^2}=\sqrt{9}=3$ žannig aš fyrsti einingarvigurinn er

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_1}=\frac{1}{\vert\vert\mathbf{a_1}\vert\vert}\mathbf...
...1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

Til aš finna nęsta einingarvigur byrjum viš į aš taka

\begin{eqnarray*}
\mathbf{a_2}=
\left[ \begin{array}{r}
2 \\
2 \\
2 \\
1...
...\
3 \\
2
\end{array} \right] = (2, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2)'
\end{eqnarray*}

og finna ofanvarp, $\mathbf{w_2}$ af $\mathbf{a_2}$ į $\mathbf{v_1}$.

Žar sem $\mathbf{v_1}$ er einingarvigur er ofanvarp $\mathbf{a_2}$ į $\mathbf{v_1}$ gefiš meš $\mathbf{w_2}=(\mathbf{a_2}\cdot\mathbf{v_1})\mathbf{v_1}$.

Viš höfum $(\mathbf{a_2}\cdot\mathbf{v_1})=
\frac{1}{3}(1\cdot 2 + 1\cdot 2 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 2 +
1\cdot 3 + 1\cdot 3 + 1\cdot 2) = 18/3=6$ og žvķ fęst $\mathbf{w_2}=6\mathbf{v_1}=6/3(1,1,1,1,1,1,1,1,1)'=(2,2,2,2,2,2,2,2,2)'$.

Žverhlutinn, ž.e. leifin eftir ofanvarp $\mathbf{a_2}$ į $\mathbf{v_1}$ er žį $\mathbf{r_2}=\mathbf{a_2}-\mathbf{w_2}=
(2, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2)'
-(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)'=(0,0,0,-1,-1,0,1,1,0)'$. Viš sjįum aš norm žessa vigurs er $\vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert=2$ žannig aš einingarvigurinn veršur

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_2}=\frac{1}{\vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert}\mathbf...
...
1 \\
0
\end{array} \right] = \frac{1}{2}(0,0,0,-1,-1,0,1,1,0)'
\end{eqnarray*}

Til aš finna sķšasta einingarvigurinn, $\mathbf{v_3}$ tökum viš žrišja dįlkvigurinn, $\mathbf{a_3}$ og byrjum į aš finna ofanvarp hans į spann hinna einingarvigranna, ž.e. viš vörpum $\mathbf{a_3}$ į $V=sp\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\}$. Ef viš köllum ofanvarpiš $\mathbf{w_3}$ žį minnumst viš žess aš $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}$ mynda hornréttan einingargrunn fyrir $V$ žannig aš ofanvarpiš mį reikna meš:

\begin{eqnarray*}
\mathbf{w_3}=
(\mathbf{a_3}\cdot\mathbf{v_1})\mathbf{v_1} +
(\mathbf{a_3}\cdot\mathbf{v_2})\mathbf{v_2} .
\end{eqnarray*}

Nś er $\mathbf{a_3}\cdot\mathbf{v_1}=1$ og $\mathbf{a_3}\cdot\mathbf{v_2}=1$ žannig aš ofanvarpiš veršur

\begin{eqnarray*}
\mathbf{w_3}=
\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{r}
1 \\
1 \\
1...
...\
2 \\
-1 \\
-1 \\
2 \\
5 \\
5 \\
2
\end{array} \right].
\end{eqnarray*}

Leifin eftir žetta ofanvarp er žį $\mathbf{r_3}=\mathbf{a_3}-\mathbf{w_3}=
(-2 , 2 , -2 , 2 , -1 , 2 , 2 , 1 , -...
...1 , -1 , 2 , 5 , 5 , 2)
=\frac{1}{6}(-14, 10 ,-14 , 13 , -5 , 10 , 7 , 1 , -8)'$.

Viš sjįum aš norm žessa vigurs er $\vert\vert\mathbf{r_2}\vert\vert=\frac{\sqrt{900}}{6}=5$ žannig aš einingarvigurinn veršur

\begin{eqnarray*}
\mathbf{v_3}=\frac{1}{\vert\vert\mathbf{r_3}\vert\vert}\mathbf...
...
13 \\
-5 \\
10 \\
7 \\
1 \\
-8
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

2. (15) Rita mį $\mathbf{y}$ sem summu tveggja vigra, $\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{y}^\perp$ žar sem $\hat{\mathbf{y}} \in V$ og $\mathbf{y}^\perp \perp V$. Finniš vigrana $\hat{\mathbf{y}}$ og $\mathbf{y}^\perp$.

Hér er $\hat{\mathbf{y}}$ ofanvarp $\mathbf{y}$ į $V$, sem mį annaš hvort reikna sem $\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$ žar sem $\boldsymbol{\beta}=\left ( \mathbf{X}'\mathbf{X}
\right ) ^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y}$ eša meš ofanvarpi $\mathbf{y}$ į spann hinna nżju einingarvigra śr dęmi 1: $\hat{\mathbf{y}}=
(\mathbf{y_1}\cdot\mathbf{v_1})\mathbf{v_1} +
(\mathbf{y_1}\cdot\mathbf{v_2})\mathbf{v_2} +
(\mathbf{y_1}\cdot\mathbf{v_3})\mathbf{v_3}
$.

Athugiš aš innfeldin eru žęgileg og ofanvarpsašferšin gefur

\begin{eqnarray*}
\mathbf{\hat y}=\frac{1}{10}
\left[ \begin{array}{r}
11 \\
15...
...1 \\
13 \\
10 \\
15 \\
17 \\
16 \\
12
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

og sķšan fęst

\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}^\perp=\mathbf{y}-\mathbf{\hat y}=
\frac{1}{10}
\lef...
... \\
-3 \\
0 \\
15 \\
-7 \\
10 \\
-12
\end{array} \right] .
\end{eqnarray*}

Athugiš aš $ \mathbf{X}'\mathbf{X}$ er $3 \times 3$ fylki žannig aš einfaldara er aš nota nišurstöšuna śr dęmi 1. Žó mį einnig leysa normaljöfnurnar handvirkt og finna žannig $\boldsymbol \beta$ įn žess aš fullvinna andhverfa fylkiš.

Žessi ašferš gefur

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X'X}=
\left[ \begin{array}{rrr}
9 & 18 & 3 \\
18 & 40 & 12 \\
3 & 12 & 27
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}

og ef normaljöfnurnar eru skrifašar upp fįst 3 jöfnur ķ 3 óžekktum, meš lausnirnar

\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{\beta}=\frac{1}{10}
\left[ \begin{array}{r}
9 \\
2 \\
1
\end{array} \right] .
\end{eqnarray*}

3. (10) Safn męlipara gefur fylgnina $r=0.9$. Finniš fyrsta meginžįttinn.

Meginžįtturinn er sś lķnulega samantekt męlinganna sem hefur mestan breytileika. Meš "lķnulegri samantekt" er žį įtt viš stušla sem mį margfalda męlingarnar meš og stušlarnir eru jafnmargir og męlivigrarnir. Meginžętti mį finna śt frį samdreifnifylkjum eša fylgnistušlafylkjum og hér er ašeins um fylgnistušlafylki aš ręša.

Fylgnistušlafylkiš sem lżsir fylgni milli męlipara er gefiš ķ dęminu sem

\begin{eqnarray*}
\mathbf{R}=
\left[ \begin{array}{rr}
1 & 0.9 \\
0.9 & 1
\end{array} \right], \ \
\end{eqnarray*}

Til aš finna meginžįttinn žarf aš byrja į aš finna stęrsta eigingildiš.

Nś er

\begin{eqnarray*}
\vert\mathbf{R}-\lambda I\vert=
\vert\left[ \begin{array}{rr}...
... & 1-\lambda
\end{array} \right]\vert =(1-\lambda)^2-0.9^2 \ \
\end{eqnarray*}

og žį fęst $\vert\mathbf{R}-\lambda I\vert=0$ ef og ašeins ef $1-\lambda=\pm 0.9$.

Eigingildi žessa fylkis eru žvķ $\lambda_1=1.1$ og $\lambda_2=0.1$. Af žeim tveimur er $\lambda_1$ stęrra, žannig aš žaš tilsvarar fyrsta meginžęttinum.

Eiginvigrar $\mathbf{u}=(u,v)'$ sem tilsvara žessu eigingildi žurfa aš uppfylla $\mathbf{R}\mathbf{u}=\lambda\mathbf{u}$, sem gefur $u=v=1/\sqrt{2}$.

Fyrsti meginžįtturinn er žvķ $\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{y}$ ef $\mathbf{x}$ og $\mathbf{y}$ eru vigrarnir sem innihalda męlipörin.

4. (15) Teikniš mynd og nżtiš hana til aš finna žau gildi, $x$ og $y$, sem hįmarka $z= x+2y$ meš tilliti til

\begin{eqnarray*}
y-x \leq 1 & (1)\\
2x+y \leq 4& (2) \\
x+2y \leq 3 & (3)\\
x,y\geq 0
\end{eqnarray*}

Žegar lķnurnar eru teiknašar mį sjį, aš lķna (3) er samsķša lķnum sem lżsa z=fasti. Lķna (3) sker x-įs ķ (3,0) og žar er z=3. Bśtur af lķnu (3) liggur fyrir nešan hinar lķnurnar eša į žeim og allt žaš svęši gefur $z=3$, t.d. skuršpunktur (1) og (3) ķ (1/3, 4/3) og skuršpunktur (2) og (3) ķ (5/3, 2/3).

Athuga ber, aš ekki eru allir skuršpunktar allra lķnanna innan svęšisins.

5. (20) Tilteknar stašlašar męlingar į framleišsluferli vöru skila śtkomum sem tilsvara śtkomum óhįšra normaldreifšra hendinga meš vęntigildi $\mu=4$ og stašalfrįvik $\sigma=0.5$ žegar framleišsluferliš er ķ lagi. Fyrirtękiš auglżsir mešaltališ 4 en samkvęmt alžjóšastašli er vara sögš gölluš ef męlingin fer yfir 5.

(a) Hverjar eru lķkurnar į aš fį gallaša vöru žegar framleišsluferliš er ķ lagi?

Lįtum $X$ vera hendingu sem lżsir vęntanlegri męlingu. Žį er gefiš aš $X\sim n(\mu=4, \sigma^2=0.5^2)$.

Varan veršur dęmd gölluš ef $X \geq 5$. Lķkur į žvķ eru $P[X\geq 5]
=P[\frac{X-\mu}{\sigma}\geq \frac{5-4}{0.5}]
=P[ Z\geq 2]
=1-P[Z\leq 2] = 1-0.9772=0.0228$.

(b) Śrtak 10 męlinga gefur mešaltališ 4.8. Er réttlętanlegt fyrir neytendasamtökin aš senda inn kvörtun um ranga auglżsingu?

Žetta er réttlętanlegt ef neytendasamtökin geta sżnt fram į (rökstutt) aš auglżsingin sé röng. Žaš er hęgt ef unnt er aš hafna tilsvarandi nślltilgįtu. Auglżsingin fullyršir aš tiltekiš mešaltal ķ normaldreifingu sé $\mu=4$, en śrtak meš $n=10$ gaf $\bar x=4.8$.

Ef nślltilgįtan $H_0:\mu=4$ vęri rétt ętti

\begin{displaymath}
z=\frac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} = \frac{4.8-4}{0.5/\sqrt{10}}=5.06
\end{displaymath}

aš vera śtkoma śr stašlašri normaldreifingu. Hins vegar er $z_{1-\alpha/2}=1.96$ svo hér fęst aš 5.06 er miklu stęrra žannig aš nślltilgįtunni er hafnaš og fullyršing frį neytendasamtökunum stenst.

(c) Hverjar eru lķkurnar į aš af 10 męlingum reynist a.m.k. 2 gallašar ef framleišsluferliš er ķ lagi?

Lįtum $U$ tįkna fjölda gallašra męlinga ķ 10 tilraunum. Ef viš gerum rįš fyrir aš tilraunirnar séu óhįšar ętti $U$ aš lśta tvķkostadreifingu meš $p$ eins og śr (a)-liš aš ofan, ž.e. $U\sim b(n=10,p=0.0228)$.

Viš žurfum žvķ aš reikna

\begin{displaymath}
P[U\geq 2]=1-P[U=0]-P[U=1]=...
\end{displaymath}

žar sem einfaldlega er notuš hefšbundin tvķkostadreifing.

(d) Hverjar eru lķkurnar į aš fį a.m.k. 10 gallašar af 50 ef framleišsluferliš er ķ lagi?

Hér er ekki aušvelt aš reikna lķkurnar beint meš tvķkostadreifingu. Normaldreifingarnįlgunin er ekki örugg žvķ $np$ er ekki stęrra en 5 (žótt $nq$ sé žaš vissulega). Žvķ mį reyna Poisson-nįlgun meš $\lambda=np$ og nota hana til aš reikna $P[X\leq 9]$, sem veršur nokkurn vegin 1 og žvķ er $P[X\geq 10]$ nokkurn vegin nśll.

6. (15) Eftirfarandi tafla gefur nišurstöšur męlinga, $y_{i}$ fyrir mismunandi hitastig ($x_i$).

$i$ 1 2 3 4 5 6
$x_i$ 1 2 3 1 2 3
$y_i$ 2 5 6 3 5 5

Er samband milli hitastigs og męlinganna?

Unnt er aš leysa žetta dęmi į a.m.k. tvo vegu. Ešlilegast er aš kanna, hvort sé (marktękt) lķnulegt samband milli $y$ og $x$. Žį er fyrst gerš einföld lķnuleg ašhvarfsgreining af $y$ į $x$, ž.e. stušlar eru metnir ķ sambandiš $y=\alpha + \beta x$ .

Sķšan žarf aš prófa, hvort sambandiš sé marktękt, ž.e. prófa nślltilgįtuna $H_0: \beta = 0$.

Athugum aš um sérlega einfaldar tölur er aš ręša žannig aš hér fęst fyrst $n=6$, $\sum x=12$ ($\bar x = 2$), $\sum x^2=28$, $\sum y=26$ ($\bar y = 13/3$), $\sum y^2=124$, $\sum xy=58$

og žį lķka $\sum (x-\bar x)^2=28-12^2/6=4$, $\sum (y-\bar y)^2 = 124-26^2/6=11.33$ og $\sum (x-\bar x)(y-\bar
y)= 58-26\cdot 12/6 = 6$.

Žį reiknast lķka hallastušullinn sem $\hat \beta = 6/4 = 1.5$ og skuršpunkturinn sem $\hat \alpha = 13/3 - 1.5 \cdot 2 = 4/3$.

Mat į dreifni hallastušullins veršur $\hat \sigma _ {\hat \beta} ^2 = \hat
\sigma^2 / \sum x-\bar x)^2$ žar sem $\hat
\sigma^2=\sum (y-\hat y)^2/(n-2)$.

Til aš reikna žessar tölur mį annaš hvort setja upp töflu meš $\hat y = \alpha + \beta x$ eša notareikniformśluna SSR= $\beta^2 \sum (x-\bar x)^2 = 1.5^2 \cdot 4=9$ og svo SSE=SSTOT-SSR=11.33-9=2.33, sem gefur MSE= $\sigma^2=2.33/4 0.5833$.

Žį er stašalfrįvik hallastušulsins $\hat \sigma _ {\hat \beta}
=\sqrt(0.5833/4) = 0.38187$.

Hefšbundiš t-próf til aš prófa nślltilgįtuna $H_0: \beta = 0$ gegn tvķhliša gagntilgįtunni $H_a:\beta \neq 0$ er framkvęmt meš žvķ aš reikna $t=(\hat \beta - 0)/\hat \sigma _ {\hat \beta}=1.5/0.38187
=3.92876$. Nś er t-gildiš śr töflu meš 4 frķgrįšum og 5% skekkjulķkum $t^*=t_{n-2,1-\alpha/2}=t_{4,0.975}=2.776$ og ef reiknaš $t=3.92876$ er boriš saman viš žessa tölu fęst $\vert t\vert>t^*$ žannig aš nślltilgįtunni er hafnaš svo žarna er marktękt samband į feršinni.

(Jafngilt žessu er aš reikna fylgnina, $r$, og gera tölfręšipróf į, hvort hśn er marktęk, en slķkt próf er ķ fyrsta lagi tölulega jafngilt ofangreindu prófi og ķ öšru lagi ekki tekiš fyrir ķ nįmskeišinu.)

Önnur leiš til aš leysa dęmiš er aš athuga, hvort mešaltöl $y$-męlinganna sé mismunandi eftir žvķ um hvaša gildi į $x$ er aš ręša. Žessi ašferš er möguleg žvķ fleiri en ein $y$-męling er fyrir hvert hitastig, $x$. Hér er žvķ gerš eins žįttar fervikagreining meš flokkunarbreytuna $x$, sem tekur gildin 1, 2 og 3. Vęntigildi $y$ mį tįkna $\mu_1$, $\mu_2$ og $\mu_3$, eftir žvķ um hvaša hitastig er aš ręša. Nślltilgįtan er nśna $H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3$ og notaš er F-próf.

Hefšbundin tölfręšipróf į mismun mešaltals $x$ og $y$ segir hins vegar ekkert um, hvort eitthvert samband sé į milli męlinganna.

7. (30) Gerš var fjölvķš ašhvarfsgreining meš ``proc glm'' ķ SAS til aš meta samhengi męlingarinnar $y$ viš óhįšu breyturnar $x$, $u$, $v$ og $w$.

Notaš var SAS-forritiš:

 proc glm;
  model y=x u v w;
og eru śtkomur sżndar į mešfylgjandi śtprentun.

Skrifa mį lķkaniš žannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha + \beta x + \gamma u + \delta v + \zeta w, \sigma^2 \right)$.

(a) Hvaš śtskżrir lķkaniš mikinn hluta breytileika męlinganna og hvert er matiš, $\hat\gamma$?

Hér er spurt um $R^2=0.996276$ eša 99.6% og $\hat \gamma=0.003040485$.

(b) Hver yrši kvašratsumma frįvika ķ lķkaninu $y=\alpha + \beta x$?

Ķ lķkani sem er ašeins meš fasta, ž.e. $y=\alpha$ (eša, nįnar, $y=\alpha
+ e$ vęri kvašratsumman, SSE sś sama og SSTOT, ž.e. 3397.487929. Nś er hins vegar spurt um, hvaš SSE yrši ef $x$ er bętt inn ķ nślllķkaniš. Type I kvašratsumman lżsir žvķ hvaš breyturnar skżra mikiš og fyrsta breytan sem kemur inn er $x$, žannig aš kvašratsumman lękkar um 3360.371765, ž.e. śr 3397.487929 ķ 3397.48792-3360.371765=37.1162, sem er svariš.

(c) Hvert er reiknaša óvissumatiš, $\hat{\sigma}$?

$\sqrt{MSE}$ er gefiš beint ķ śttakinu: 0.918373.

(d) Mį sleppa $x$ śr lķkaninu?

Nei, alveg frįleitt. Type III taflan segir til um, hvaša breytum mį sleppa og hér kemur ķ ljós aš P-gildiš er minna en 0.0001 fyrir $x$.

(e) Mį einfalda lķkaniš nišur ķ $Y_i \sim n\left ( \alpha + \beta x,
\sigma^2 \right)$, ž.e. sleppa $u$, $v$ og $w$?

Žessi spurning er svolķtiš snśin: Ef einungis er litiš į Type III töfluna mį sjį, aš strangt til tekiš er allt ķ lagi aš sleppa fyrst $w$ śr lokalķkaninu (P= 0.1141 sem er yfir 0.05 og žvķ er $w$ ekki marktęk višbót ķ lķkaniš). Nęsta lķna fyrir ofan segir lķka aš sleppa megi $v$ og sś nęsta žar fyrir ofan segir aš sleppa megi $u$. Žannig aš ef skošuš er hver breyta fyrir sig yrši žeim sleppt ķ röš.

Spurningin var hins vegar um allar breyturnar ķ einu: Mį sleppa žeim öllum. Ef öllum er sleppt hękkar SSE um 0.0000639+2.9257102+2.3735404 = 5.29931 og spurningin er žvķ, hvort žetta er marktęk hękkun mišaš viš 3 frķgrįšur.

Almenna F-prófiš ber saman SSE(R) og SSE(F) og tilheyrandi frķgrįšubreytingar. Hér fęst F=(5.29931/3)/0.843409 sem žarf aš bera saman viš F śr töflu meš 3 og 15 frķgrįšum. Nišurstašan er sś aš žetta er marktękt, ž.e. aš ekki mį henda öllum breytunum.

(f) Śtskżrir lķkaniš marktękan hluta breytileikans?

Jį: Efsta taflan ķ śttakinu sżnir P-gildiš sem er minna en 0.0001 žannig aš žaš mį engan vegin sleppa öllum breytunum.

(g) Hvaš er $\hat{\sigma}_{\hat{\gamma}}$?

Beint śr śttakinu: 0.34929258.

Muniš aš rökstyšja öll svörin meš tilvķsunum ķ tölur og uppsetningu į lķkönum og nślltilgįtum.

Dependent Variable: y   

                                        Sum of
Source                      DF         Squares     Mean Square    F Value    Pr > F

Model                        4     3384.836788      846.209197    1003.32    <.0001

Error                       15       12.651141        0.843409                     

Corrected Total             19     3397.487929                                     


                 R-Square     Coeff Var      Root MSE        y Mean

                 0.996276      4.000490      0.918373      22.95652


Source                      DF       Type I SS     Mean Square    F Value    Pr > F

x                            1     3360.371765     3360.371765    3984.27    <.0001
u                            1       13.119716       13.119716      15.56    0.0013
v                            1        8.971767        8.971767      10.64    0.0053
w                            1        2.373540        2.373540       2.81    0.1141


Source                      DF     Type III SS     Mean Square    F Value    Pr > F

x                            1     115.3516920     115.3516920     136.77    <.0001
u                            1       0.0000639       0.0000639       0.00    0.9932
v                            1       2.9257102       2.9257102       3.47    0.0822
w                            1       2.3735404       2.3735404       2.81    0.1141


                                           Standard
         Parameter         Estimate           Error    t Value    Pr > |t|

         Intercept      0.664066507      0.94592972       0.70      0.4934
         x              1.755722146      0.15012846      11.69      <.0001
         u              0.003040485      0.34929258       0.01      0.9932
         v              0.055972245      0.03005220       1.86      0.0822
         w              0.013750364      0.00819663       1.68      0.1141



next up previous
Next: About this document ...
Gunnar Stefansson 2004-01-18