Hßskˇli ═slands   RaunvÝsindadeild

09.10.16 LÝnuleg algebra og t÷lfrŠ­i

Ůri­judagur 21. Desember, 1999   kl. 9-12

Leyfileg hjßlparg÷gn: Dau­ir hlutir.

Athugi­ a­ GSM sÝmar eru me­ ÷llu banna­ir ß prˇfsvŠ­inu og ß sama hßtt eru allar nettengingar ˇleyfilegar.

Noti­ 5% marktŠknikr÷fu nema anna­ sÚ teki­ fram.

VŠgi dŠma er gefi­ Ý svigum. Alls eru stigin 100 en 85 stig teljast full lausn.

1. (15) Skilgreini­ fylki­ X og vigurinn y (sem einnig ver­a notu­ Ý dŠmum 2-3) ß eftirfarandi hßtt

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m...
...1 & 4 \\
1 & 0 & 0 & -4 \\
1 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r}
5 \\
4 \\
3 \\
6 \\
7 \\
5 \\
7 \\
8 \\
6
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


■ar sem a1, a2, a3 og a4 eru dßlkar fylkisins, rita­ir sem dßlkvigrar.

Finni­ hornrÚttan einingargrunn { v1, v2, v3 , v4 } fyrir span( a1, a2, a3, a4) me­ Gram-Schmidt a­fer­.

2. (15) Reikni­ $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ me­ ■vÝ a­ leysa j÷fnuhneppi­ $(\mathbf{X}^T\mathbf{X})\hat{\boldsymbol{\beta}}=
\mathbf{X}^T\mathbf{y}$.

3. (10) Finni­ ■ann vigur $\hat{\mathbf{y}}$ sem er ofanvarp y ß span( a1, a2, a3, a4)= span( v1, v2, v3, v4).

4. (15) Teikni­ mynd og nřti­ hana til a­ finna ■au gildi, x og y, sem lßgmarka z= 2x+3y me­ tilliti til

\begin{eqnarray*}
3x-2y \geq -6 \\
-2x+y \geq 0 \\
2x+y \geq 8 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0
\end{eqnarray*}


5. (10) Sko­anak÷nnun um tiltekna hßlendisvirkjun nß­i til 1000 manns. Af ■eim sem tˇku afst÷­u vildu 365 virkja en 390 vildu fri­a landi­. Er munurinn marktŠkur?

6. (15) ┴ hŠfnisprˇfi til framhaldsnßms eru 100 krossaspurningar. ŮrÝr m÷guleikar eru ß svari vi­ hverri spurningu, merkja skal vi­ einn m÷guleika og er gefi­ eitt stig fyrir rÚtt svar en n˙ll fyrir rangt. Til a­ nß prˇfi ■arf a­ nß 40% rÚttu svarhlutfalli.

a) Vermundur ■ekkir efni prˇfsins ekki neitt, en ßkve­ur a­ treysta ß eigin lukku og giskar ß ÷ll sv÷rin. Hverjar eru lÝkurnar ß a­ Vermundur nßi prˇfinu?

b) Hverjar eru lÝkurnar ß ■vÝ a­ a­ minnsta kosti tveir af 10 nßi prˇfinu ef allir giska ß sv÷r vi­ ÷llum spurningunum?

7. (20) MŠlingar ß samfelldri breytu y voru ger­ar ß tveimur st÷­um ß landinu (m=1,2) og vi­ mismunandi samfelldar stillingar (x) ß tilteknu tŠki.

x 1 2 4 5 1 2 4 5    
y 2 4 5 5 3 4 4 6    
m 1 1 1 1 2 2 2 2    

Ůessi g÷gn voru sett inn Ý t÷lfrŠ­ipakka til a­ kanna, hva­a atri­i hafa ßhrif ß mŠlingarnar. Annars vegar var sett upp einfalt lÝkan, $y=\alpha + \beta x + e$ og hins vegar flˇknara lÝkan, $y=\alpha _m +
\beta _m x + e$, en einnig er ßhugavert a­ kanna svŠ­amun, ■.e. prˇfa hvort me­alt÷lin sÚu ˇhß­ svŠ­um.

Nota­ var SAS-forriti­:

Einfalt lÝkan            Flˇki­ lÝkan
proc glm;                proc glm;
                          classes m;
  model y=x;              model y=m m*x;
og eru ˙tkomur sřndar ß me­fylgjandi ˙tprentunum.

(a) Er marktŠkur munur ß me­alt÷lum mŠlinganna eftir st÷­um ß landinu?

(b) Er marktŠkt samhengi milli x og y?

(c) Hver er fylgnin milli x og y?

(d) Skrifa mß einfaldara lÝkani­ ■annig: $Y_i \sim n\left ( \alpha +\beta x_{i}, \sigma^2 \right)$, og mati­ ß stu­lunum ver­ur $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\sigma}$, ßsamt tilsvarandi ˇvissumati, t.d. $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$.

Hver eru reiknu­u gildin ß $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$, $\hat{\sigma}$ og $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$?

(e) Prˇfi­ n˙lltilgßtuna $H_0: \beta = 1$ Ý einfaldara lÝkaninu.

(f) Er marktŠkt betra a­ vera me­ flˇki­ lÝkan heldur en einfalt?

Muni­ a­ r÷ksty­ja ÷ll sv÷rin me­ tilvÝsunum Ý t÷lur og uppsetningu ß lÝk÷num og n˙lltilgßtum. Athugi­ a­ finna mß allar t÷lur, sem leggja ■arf til grundvallar, Ý ˙tkomunum ˙r SAS keyrslunum.