Háskóli Íslands

Raunvísindadeild

09.10.16 Línuleg algebra og tölfræði

Þriðjudagur 21. Desember, 1999

kl. 9-12

Leyfileg hjálpargögn: Dauðir hlutir.

Athugið að GSM símar eru með öllu bannaðir á prófsvæðinu og á sama hátt eru allar nettengingar óleyfilegar.

Notið 5% marktæknikröfu nema annað sé tekið fram.

Vægi dæma er gefið í svigum. Alls eru stigin 100 en 85 stig teljast full lausn.

1. (15) Skilgreinið fylkið X og vigurinn y (sem einnig verða notuð í dæmum 2-3) á eftirfarandi hátt

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}= \left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m... ...1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 6 \\ 7 \\ 5 \\ 7 \\ 8 \\ 6 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

þar sem a₁, a₂, a₃ og a₄ eru dálkar fylkisins, ritaðir sem dálkvigrar.

Finnið hornréttan einingargrunn { v₁, v₂, v₃ , v₄ } fyrir span( a₁, a₂, a₃, a₄) með Gram-Schmidt aðferð.

2. (15) Reiknið $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ með því að leysa jöfnuhneppið $(\mathbf{X}^T\mathbf{X})\hat{\boldsymbol{\beta}}= \mathbf{X}^T\mathbf{y}$.

3. (10) Finnið þann vigur $\hat{\mathbf{y}}$ sem er ofanvarp y á span( a₁, a₂, a₃, a₄)= span( v₁, v₂, v₃, v₄).

4. (15) Teiknið mynd og nýtið hana til að finna þau gildi, x og y, sem lágmarka z= 2x+3y með tilliti til

$$\begin{eqnarray*} 3x-2y \geq -6 \\ -2x+y \geq 0 \\ 2x+y \geq 8 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{eqnarray*}$$

5. (10) Skoðanakönnun um tiltekna hálendisvirkjun náði til 1000 manns. Af þeim sem tóku afstöðu vildu 365 virkja en 390 vildu friða landið. Er munurinn marktækur?

6. (15) Á hæfnisprófi til framhaldsnáms eru 100 krossaspurningar. Þrír möguleikar eru á svari við hverri spurningu, merkja skal við einn möguleika og er gefið eitt stig fyrir rétt svar en núll fyrir rangt. Til að ná prófi þarf að ná 40% réttu svarhlutfalli.

a) Vermundur þekkir efni prófsins ekki neitt, en ákveður að treysta á eigin lukku og giskar á öll svörin. Hverjar eru líkurnar á að Vermundur nái prófinu?

b) Hverjar eru líkurnar á því að að minnsta kosti tveir af 10 nái prófinu ef allir giska á svör við öllum spurningunum?

7. (20) Mælingar á samfelldri breytu y voru gerðar á tveimur stöðum á landinu (m=1,2) og við mismunandi samfelldar stillingar (x) á tilteknu tæki.

x	1	2	4	5	1	2	4	5
y	2	4	5	5	3	4	4	6
m	1	1	1	1	2	2	2	2

Þessi gögn voru sett inn í tölfræðipakka til að kanna, hvaða atriði hafa áhrif á mælingarnar. Annars vegar var sett upp einfalt líkan, $y=\alpha + \beta x + e$ og hins vegar flóknara líkan, $y=\alpha _m + \beta _m x + e$, en einnig er áhugavert að kanna svæðamun, þ.e. prófa hvort meðaltölin séu óháð svæðum.

Notað var SAS-forritið:

Einfalt líkan            Flókið líkan
proc glm;                proc glm;
                          classes m;
  model y=x;              model y=m m*x;

og eru útkomur sýndar á meðfylgjandi útprentunum.

(a) Er marktækur munur á meðaltölum mælinganna eftir stöðum á landinu?

(b) Er marktækt samhengi milli x og y?

(c) Hver er fylgnin milli x og y?

(d) Skrifa má einfaldara líkanið þannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha +\beta x_{i}, \sigma^2 \right)$, og matið á stuðlunum verður $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\sigma}$, ásamt tilsvarandi óvissumati, t.d. $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$.

Hver eru reiknuðu gildin á $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$, $\hat{\sigma}$ og $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}$?

(e) Prófið núlltilgátuna $H_0: \beta = 1$ í einfaldara líkaninu.

(f) Er marktækt betra að vera með flókið líkan heldur en einfalt?

Munið að rökstyðja öll svörin með tilvísunum í tölur og uppsetningu á líkönum og núlltilgátum. Athugið að finna má allar tölur, sem leggja þarf til grundvallar, í útkomunum úr SAS keyrslunum.