next up previous
Next: About this document ...

Hįskóli Ķslands   Raunvķsindadeild
  09.10.16 Lķnuleg algebra og tölfręši  
Mįnudagur 21. įgśst 2000 kl 9-12.
Leyfileg hjįlpargögn: Daušir hlutir. Athugiš aš GSM sķmar eru bannašir į prófstaš og tengingar viš Internetiš einnig. Vęgi dęma er gefiš ķ svigum. Alls eru stigin 115 en 100 stig teljast full lausn.

Notiš 5% marktęknikröfu nema annaš sé tekiš fram. Muniš aš taka skżrt fram nślltilgįtur og gagntilgįtur žar sem žaš į viš.

Eftirfarandi fylki $X$ og vigur $\mathbf{y}$ verša notuš ķ dęmum 1-2:

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m...
...-1 & 4 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & -3
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r}
3 \\
6 \\
5 \\
5 \\
7 \\
4 \\
7 \\
8 \\
5
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}



žar sem $\mathbf{a_1}$, $\mathbf{a_2}$, $\mathbf{a_3}$ og $\mathbf{a_4}$ eru dįlkar fylkisins, ritašir sem dįlkvigrar.

1. (15) Finniš hornréttan einingargrunn, { $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{v_3} , \mathbf{v_4}$ }, fyrir span( $\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \mathbf{a_3}, \mathbf{a_4}$) meš Gram-Schmidt ašferš.

2. (15) Leysiš ašhvarsgreiningarvandamįliš, $y=Xb$, meš žvķ aš finna žann vigur, $b$ sem lįgmarkar $\vert\vert y - Xb \vert\vert^2$.

3. (15) Teikniš mynd og nżtiš hana til aš finna žau gildi, $x$ og $y$, sem hįmarka $z= 3x+y$ meš tilliti til

\begin{eqnarray*}
3x+2y \geq 2 \\
-2x+y \leq 0 \\
2x+5y \leq 10 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0
\end{eqnarray*}



4. (15) Ķ tveimur könnunum sem hvor nįši til eitt žśsund einstaklinga fékk tiltekinn flokkur annars vegar 45% fylgi og hins vegar 40% fylgi. Er munurinn marktękur?

5. (20) Endingartķmi tękis er įętlašur 50 dagar, meš stašalfrįviki 10 dagar.

(a) Hverjar eru lķkurnar į aš tękiš endist ekki nema 30 daga?

(b) Ef keypt eru 50 tęki, hverjar eru žį lķkurnar į aš ekkert nįi 50 dögum?

(c) Hverjar eru lķkurnar į aš ašeins 3 eša fęrri af 50 slķkum tękjum endist ekki nema 40 daga?

(d) Hverjar eru lķkurnar į aš ašeins 2 eša fęrri af 50 slķkum tękjum endist ekki nema 30 daga?

6. (15) Eftirfarandi tafla gefur nišurstöšur męlinga, $x$ og $y$. Reiknaš er meš žvķ aš lķnulegt samband megi nota til aš spį $y$ fyrir gefiš gildi į $x$.

Notiš ašhvarfsgreiningu til aš prófa hvort slķkt samband sé til stašar.

$x$ 1 2 4 5 1          
$y$ 2 4 5 5 3          

7. (20) Nišurstöšur ($y$) tiltekinna prófana į sjśklingum voru fengnar meš žremur męlitękjum ($m=1, 2, 3$) og eftir mismunandi marga daga ($x$) ķ mešferš. Prófanirnar felast ķ žvķ aš męla eftirstöšvar tiltekins efnis. Žęr eru geršar į log-kvarša og žvķ er reiknaš meš aš lķnulegt samband gildi viš tķma į žeim kvarša, ž.e. milli $y$ og $x$.

$x$ 1 2 3 1 2 3 1 2 3  
$y$ 8 4 21 10 12 17 8 11 16  
$m$ 1 1 1 2 2 2 3 3 3  

Žessi gögn voru sett inn ķ tölfręšipakka til aš kanna, hvaša atriši hafa įhrif į męlingarnar. Skilgreint var lķkaniš $y=\alpha _m +
\beta _m x + e$.

Notaš var SAS-forritiš:

 proc glm;
  classes m;
  model y=m m*x;
og eru śtkomur sżndar į mešfylgjandi śtprentun.

(a) Er marktękur munur į mešaltölum męlinganna eftir žvķ hvaša tęki er notaš?

(b) Hvaš śtskżrir lķkaniš mikinn hluta breytileika męlinganna?

(c) Skrifa mį lķkaniš žannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha +\beta_m + \gamma_m x_{i}, \sigma^2 \right)$.

Hvert er reiknaša óvissumatiš, $\hat{\sigma}$?

(d) Prófiš nślltilgįtuna $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$.

(e) Er marktękt betra aš reikna meš aš $x$ skipti mįli heldur en aš sleppa žvķ?

(f) Śtskżrir lķkaniš marktękan hluta breytileikans?

Muniš aš rökstyšja öll svörin meš tilvķsunum ķ tölur og uppsetningu į lķkönum og nślltilgįtum. Athugiš aš finna mį allar tölur, sem leggja žarf til grundvallar, ķ śtkomunnu śr SAS keyrslunni, en aš sjįlfsögšu mį einnig reikna žęr śt töflunni.

                                 The SAS System                                3
                                                   14:20 Friday, August 18, 2000

                               The GLM Procedure
 
Dependent Variable: y   

                                       Sum of
 Source                     DF        Squares    Mean Square   F Value   Pr > F

 Model                       5    920.5555556    184.1111111      7.30   0.0663

 Error                       3     75.6666667     25.2222222                   

 Corrected Total             8    996.2222222                                  


               R-Square     Coeff Var      Root MSE        y Mean

               0.924046      27.06560      5.022173      18.55556


 Source                     DF      Type I SS    Mean Square   F Value   Pr > F

 m                           2    779.5555556    389.7777778     15.45   0.0263
 x*m                         3    141.0000000     47.0000000      1.86   0.3110


 Source                     DF    Type III SS    Mean Square   F Value   Pr > F

 m                           2    147.8412698     73.9206349      2.93   0.1970
 x*m                         3    141.0000000     47.0000000      1.86   0.3110



next up previous
Next: About this document ...
Gunnar Stefansson 2000-12-06