Háskóli Íslands		Raunvísindadeild
	09.10.16 Línuleg algebra og tölfræði
Mánudagur	21. ágúst 2000	kl 9-12.

Leyfileg hjálpargögn: Dauðir hlutir.

Athugið að GSM símar eru bannaðir á prófstað og tengingar við Internetið einnig.

Vægi dæma er gefið í svigum. Alls eru stigin 115 en 100 stig teljast full lausn.

Notið 5% marktæknikröfu nema annað sé tekið fram. Munið að taka skýrt fram núlltilgátur og gagntilgátur þar sem það á við.

Eftirfarandi fylki $X$ og vigur $\mathbf{y}$ verða notuð í dæmum 1-2:

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}= \left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m... ...-1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 5 \\ 5 \\ 7 \\ 4 \\ 7 \\ 8 \\ 5 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

þar sem $\mathbf{a_1}$, $\mathbf{a_2}$, $\mathbf{a_3}$ og $\mathbf{a_4}$ eru dálkar fylkisins, ritaðir sem dálkvigrar.

1. (15) Finnið hornréttan einingargrunn, { $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \mathbf{v_3} , \mathbf{v_4}$ }, fyrir span( $\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \mathbf{a_3}, \mathbf{a_4}$) með Gram-Schmidt aðferð.

2. (15) Leysið aðhvarsgreiningarvandamálið, $y=Xb$, með því að finna þann vigur, $b$ sem lágmarkar $\vert\vert y - Xb \vert\vert^2$.

3. (15) Teiknið mynd og nýtið hana til að finna þau gildi, $x$ og $y$, sem hámarka $z= 3x+y$ með tilliti til

$$\begin{eqnarray*} 3x+2y \geq 2 \\ -2x+y \leq 0 \\ 2x+5y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{eqnarray*}$$

4. (15) Í tveimur könnunum sem hvor náði til eitt þúsund einstaklinga fékk tiltekinn flokkur annars vegar 45% fylgi og hins vegar 40% fylgi. Er munurinn marktækur?

5. (20) Endingartími tækis er áætlaður 50 dagar, með staðalfráviki 10 dagar.

(a) Hverjar eru líkurnar á að tækið endist ekki nema 30 daga?

(b) Ef keypt eru 50 tæki, hverjar eru þá líkurnar á að ekkert nái 50 dögum?

(c) Hverjar eru líkurnar á að aðeins 3 eða færri af 50 slíkum tækjum endist ekki nema 40 daga?

(d) Hverjar eru líkurnar á að aðeins 2 eða færri af 50 slíkum tækjum endist ekki nema 30 daga?

6. (15) Eftirfarandi tafla gefur niðurstöður mælinga, $x$ og $y$. Reiknað er með því að línulegt samband megi nota til að spá $y$ fyrir gefið gildi á $x$.

Notið aðhvarfsgreiningu til að prófa hvort slíkt samband sé til staðar.

$x$	1	2	4	5	1
$y$	2	4	5	5	3

7. (20) Niðurstöður ($y$) tiltekinna prófana á sjúklingum voru fengnar með þremur mælitækjum ($m=1, 2, 3$) og eftir mismunandi marga daga ($x$) í meðferð. Prófanirnar felast í því að mæla eftirstöðvar tiltekins efnis. Þær eru gerðar á log-kvarða og því er reiknað með að línulegt samband gildi við tíma á þeim kvarða, þ.e. milli $y$ og $x$.

$x$	1	2	3	1	2	3	1	2	3
$y$	8	4	21	10	12	17	8	11	16
$m$	1	1	1	2	2	2	3	3	3

Þessi gögn voru sett inn í tölfræðipakka til að kanna, hvaða atriði hafa áhrif á mælingarnar. Skilgreint var líkanið $y=\alpha _m + \beta _m x + e$.

Notað var SAS-forritið:

 proc glm;
  classes m;
  model y=m m*x;

og eru útkomur sýndar á meðfylgjandi útprentun.

(a) Er marktækur munur á meðaltölum mælinganna eftir því hvaða tæki er notað?

(b) Hvað útskýrir líkanið mikinn hluta breytileika mælinganna?

(c) Skrifa má líkanið þannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha +\beta_m + \gamma_m x_{i}, \sigma^2 \right)$.

Hvert er reiknaða óvissumatið, $\hat{\sigma}$?

(d) Prófið núlltilgátuna $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$.

(e) Er marktækt betra að reikna með að $x$ skipti máli heldur en að sleppa því?

(f) Útskýrir líkanið marktækan hluta breytileikans?

Munið að rökstyðja öll svörin með tilvísunum í tölur og uppsetningu á líkönum og núlltilgátum. Athugið að finna má allar tölur, sem leggja þarf til grundvallar, í útkomunnu úr SAS keyrslunni, en að sjálfsögðu má einnig reikna þær út töflunni.

                                 The SAS System                                3
                                                   14:20 Friday, August 18, 2000

                               The GLM Procedure
 
Dependent Variable: y   

                                       Sum of
 Source                     DF        Squares    Mean Square   F Value   Pr > F

 Model                       5    920.5555556    184.1111111      7.30   0.0663

 Error                       3     75.6666667     25.2222222                   

 Corrected Total             8    996.2222222                                  


               R-Square     Coeff Var      Root MSE        y Mean

               0.924046      27.06560      5.022173      18.55556


 Source                     DF      Type I SS    Mean Square   F Value   Pr > F

 m                           2    779.5555556    389.7777778     15.45   0.0263
 x*m                         3    141.0000000     47.0000000      1.86   0.3110


 Source                     DF    Type III SS    Mean Square   F Value   Pr > F

 m                           2    147.8412698     73.9206349      2.93   0.1970
 x*m                         3    141.0000000     47.0000000      1.86   0.3110