Hįskóli Ķslands   Raunvķsindadeild
  09.10.16 Lķnuleg algebra og tölfręši  
Mišvikudagur 20. desember 2000 kl 14-17.
Leyfileg hjįlpargögn: Daušir hlutir. Athugiš aš GSM sķmar eru bannašir į prófstaš og tengingar viš Internetiš einnig. Vęgi dęma er gefiš ķ svigum. Alls eru stigin 115 en 100 stig teljast full lausn.

Muniš aš taka skżrt fram nślltilgįtur og gagntilgįtur žar sem žaš į viš.

Lįtum fylkiš X vera

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \m...
...& 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


og vigurinn y vera


\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}= \left[ \begin{array}{r}
1 \\
2 \\
1 \\
3 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


1. (10) Finniš žann vigur $\mathbf{\hat{\beta}}$ sem gefur lęgsta gildi į $\vert\vert\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\beta}\vert\vert^2$ yfir alla hugsanlega vigra $\mathbf{\beta}$.

2. (15) Finniš hornréttan einingargrunn fyrir sp{ a1, a2. a3, a4 }.

3. (5) Finniš ofanvarpiš, $\hat{y}$, af y į spann dįlkvigra fylkisins X.

4. (15) Teikniš mynd og nżtiš hana til aš finna žau gildi, x og y, sem hįmarka z= 3x+2y meš tilliti til

\begin{eqnarray*}
-3x+y \leq -2 \\
2x-y \leq 5 \\
2x+y \leq 8 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0
\end{eqnarray*}


5. (15) Ķ teningakasti fjįrhęttuspilara var sett merki į annan teninginn og fylgst nįiš meš śtkomum į hvorum teningi fyrir sig. Eftir 50 köst kom ķ ljós aš į öšrum teningnum hafši 6 komiš upp 11 sinnum en į hinum 15 sinnum.

(a) Er hęgt aš fullyrša aš munur sé į teningunum?

(b) Fullyrt hefur veriš aš fjįrhęttuspilarinn sé meš teninga sem séu falsašir meš žvķ aš setja įkvešinn aukinn žunga į móti 6-hlišinni (og auka žannig lķkur į 6 į įkvešinn hįtt). Er žessi fullyršing réttlętanleg?

6. (15) Krukka nokkur inniheldur 8 kślur, 5 raušar og 3 blįar. Draga skal tilviljanakennt eina kślu ķ einu śr krukkunni, meš skilum.

Lįtum Y tįkna fjölda raušra kślna sem fįst įšur en blį kśla kemur ef dregiš er žrisvar sinnum (setjum Y=3 ef ekki kemur nein blį).

(a) Setjiš upp lķkindadreifingu Y.

(b) Reikniš vęntigildi Y.

Lįtum hendinguna X tįkna fjölda raušra kślna sem fįst. Skrifiš nišur višeigandi jöfnur og reikniš:

(c) Vęntigildi X ef dregiš er 10 sinnum.

(d) Lķkurnar į žvķ aš fį a.m.k. tvęr raušar kślur ef dregiš er 10 sinnum.

(e) Lķkurnar į žvķ aš fį 40 eša fęrri raušar kślur ef dregiš er 100 sinnum.

7. (15) Tilraun var framkvęmd į tveimur stöšum meš eftirfarandi nišurstöšum:

Stašur 1 2
n 5 6
$\bar{x}$ 2.5 3.7
s 0.4 0.3

Er marktękur munur į mešaltölunum?

8. (25) Įhugi er į aš kanna mum į tveimur ašhvarfsgreiningarlķnum, ž.e. aš prófa hvort sé marktękt betra aš leggja tvęr lķnur frekar en eina ķ gegnum gögn (xi,yi) śr tveimur könnunum, annars vegar hjį körlum (1) og hins vegar konum (2). Ķ hverri könnun eru fjórar męlingar.

Žetta mį gera meš žvķ aš smķša annars vegar einfalt lķkan (lķkan R),


\begin{displaymath}
y_{ij}=\alpha + \beta x_{ij} + e_{ij} \textrm{ fyrir } i=1, \ldots 2, j=1,\ldots,4 \textrm{(lķna R)}
\end{displaymath} (1)

og hins vegar flókiš lķkan (lķkan F) og bera žau sķšan saman. Stušlar ķ flókna lķkaninu eru metnir meš žvķ aš leggja eina lķnu ķ gegnum hvert gagnasafn:


\begin{displaymath}
y_{1j}=\alpha_1 + \beta_1 x_{1j} + e_{1j} \textrm{ fyrir } j=1,\ldots,4, \textrm{(lķna F1)}
\end{displaymath} (2)


\begin{displaymath}
y_{2j}=\alpha_2 + \beta_2 x_{2j} + e_{2j} \textrm{ fyrir } j=1,\ldots,4, \textrm{(lķna F2)}
\end{displaymath} (3)

Žessu til višbótar er prófaš millilķkan (M) meš breytilegum skuršpunkti:

\begin{displaymath}
y_{ij}=\alpha_i + \beta x_{ij} + e_{ij} \textrm{ fyrir } i=1, \ldots 2, j=1,\ldots,4, \textrm{(lķna M)}
\end{displaymath} (4)

Mešfylgjandi blöš gefa SAS skipanir og śttak sem sżnir metna stušla og helstu töflur meš fervikagreiningum. Muniš aš rökstyšja svörin hér aš nešan meš beinum tilvķsunum ķ tölur śr töflum.

Spurningar meš tilvķsunum ķ lķkön R og F

(a) Hvaš śtskżrir einfalda lķkaniš hįtt hlutfall af breytileika gagnanna og hver er fylgnin milli x og y?

(b) Hvert er matiš, $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$ og $\hat{\sigma}^2$, į stušlunum $\alpha$ og $\beta$ og dreifni męlinganna, $\sigma^2$?

(c) Er skuršpunkturinn ķ einfalda lķkaninu marktękt frįbrugšinn nślli?

(d) Notiš flókna lķkaniš til aš finna besta spįgildi (ž.e. minnstu kvašrata mat) į y fyrir karl sem hefur x=2.5.

(e) Hver eru gildin į kvašratsummum frįvika ķ hvoru lķkani fyrir sig, ž.e. SSE(F) og SSE(R)?

(f) Prófiš (meš žvķ aš setja upp višeigandi ANOVA töflu) hvort flókna lķkaniš (F) er marktękt betra en einfalda lķkaniš (R).

Spurningar meš tilvķsun ķ millilķkaniš M

(g) Hvaš er SSE ķ žessu lķkani, ž.e. $y_{ij}=\alpha_i + \beta x_{ij} + e_{ij}$?

(h) Hvaš yrši SSE ķ lķkaninu $y_{ij}=\alpha_i + e_{ij}$?