Háskóli Íslands		Raunvísindadeild
	09.10.16 Línuleg algebra og tölfræði
Laugardagur	18. ágúst 2001	kl 9-12.

Leyfileg hjálpargögn: Dauðir hlutir.

Athugið að GSM símar eru bannaðir á prófstað og tengingar við Internetið einnig.

Vægi dæma er gefið í svigum. Athugið að 100 stig teljast full lausn, en alls eru stigin fleiri.

Notið 5% marktæknikröfu nema annað sé tekið fram. Munið að taka skýrt fram núlltilgátur og gagntilgátur þar sem það á við.

Eftirfarandi fylki $\mathbf{X}$ og vigur $\mathbf{y}$ verða notuð í dæmum 1-4:

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}= \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 &... ...ay}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

1. (10) Setjið upp og leysið normaljöfnur aðhvarfsgreiningarverkefnisins, $\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{b}+\mathbf{e}$.

2. (10) Finnið hornréttan einingargrunn, fyrir spann dálkvigra $\mathbf{X}$.

3. (5) Hvert er ofanvarp $\mathbf{y}$ á spannið af dálkvigrum $\mathbf{X}$?

4. (10) Hver eru eigingildi fylkisins $\mathbf{W}=\mathbf{X}'\mathbf{X}$?

5. (15) Teiknið mynd og nýtið hana til að finna þau gildi, $x$ og $y$, sem hámarka $z= 3x+y$ með tilliti til

$$\begin{eqnarray*} y-3x \leq 2 \\ x+y \leq 2 \\ 2x+y \leq 4 \\ x,y\geq 0 \end{eqnarray*}$$

6. (15) Tekin voru tvö sýni af fiskum. Fyrra sýnið innihélt 25 fiska en af þeim voru 12 kynþroska. Síðara sýnið var tekið á menguðu svæði. Í því sýni voru 10 af 50 fiskum kynþroska. Því hefur verið haldið fram að þessi tiltekna mengun hafi áhrif í þá átt að draga úr kynþroska fisksins. Er þessi ályktun réttlætanleg?

7. (10) Þrír möguleikar eru gefnir á svari við hverri spurningu í krossaprófi og er gefin einkunnin 1 fyrir rétt svar en 0 fyrir rangt. Tiltekinn nemandi hefur aldrei séð efnið og giskar á öll svör. Alls þarf 40% rétt svör til að standast prófið.

(a) Hverjar eru líkurnar á að nemandinn nái prófi með 10 spurningar?

(b) Hverjar eru líkurnar á að nemandinn nái prófi með 100 spurningar?

8. (15) Eftirfarandi tafla gefur niðurstöður mælinga, $y_{im}$ fyrir mismunandi stillingar ($m=1,2,3$) tiltekins tækis. Alls eru fjórar mælingar gerðar fyrir hverja stillingu ($i=1,2,3,4$).

$y_{im}$			$m$
		1	2	3
	1	2	4	2
$i$	2	5	3	1
	3	2	3	1
	4	6	3	4

Hafa stillingar tækisins marktæk áhrif á mæliniðurstöðurnar?

Gefið er

$m$	1	2	3
$n_m$	4	4	4
$\bar y_{.m}$	3.75	3.25	2.000
$s_m$	2.062	0.500	1.414

9. (30) Niðurstöður ($y$) tiltekinna prófana á sjúklingum voru fengnar með þremur mælitækjum ($m=1,2,3$) og eftir mismunandi marga daga ($x$) í meðferð. Prófanirnar felast í því að mæla eftirstöðvar tiltekins efnis. Þær eru gerðar á log-kvarða og því er reiknað með að línulegt samband gildi við tíma á þeim kvarða, þ.e. milli $y$ og $x$.

$x$	1	2	3	1	2	3	1	2	3
$y$	8	4	21	10	12	17	8	11	16
$m$	1	1	1	2	2	2	3	3	3

Þessi gögn voru sett inn í tölfræðipakka til að kanna, hvaða atriði hafa áhrif á mælingarnar. Skilgreint var líkanið $y=\alpha _m + \beta x + \gamma _m x + e$, þ.e. línulegt fall af $x$ með breytilegum skurðpunkti og breytilegum hallatölum.

Notað var SAS-forritið:

 proc glm;
  classes m;
  model y=m x m*x;

og eru útkomur sýndar á meðfylgjandi útprentun.

(a) Hvað útskýrir líkanið mikinn hluta breytileika mælinganna?

(b) Hver yrði kvaðratsumma frávika í líkaninu $y=\alpha_m + \beta x$?

(c) Skrifa má líkanið þannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha _m + \beta x + \gamma_m x_{i}, \sigma^2 \right)$.

Hvert er reiknaða óvissumatið, $\hat{\sigma}$?

(d) Er nauðsynlegt að hafa breytilegan skurðpunkt í lokalíkaninu?

(e) Má sleppa $x$ alveg út úr líkaninu?

(f) Útskýrir líkanið marktækan hluta breytileikans?

Munið að rökstyðja öll svörin með tilvísunum í tölur og uppsetningu á líkönum og núlltilgátum. Athugið að finna má allar tölur, sem leggja þarf til grundvallar, í útkomunnu úr SAS keyrslunni, en að sjálfsögðu má einnig reikna þær út töflunni.

                                 The SAS System                                3
                                                21:01 Wednesday, August 15, 2001

                        General Linear Models Procedure

Dependent Variable: Y
                                     Sum of            Mean
Source                  DF          Squares          Square   F Value     Pr > F

Model                    5     920.55555556    184.11111111      7.30     0.0663

Error                    3      75.66666667     25.22222222

Corrected Total          8     996.22222222

                  R-Square             C.V.        Root MSE               Y Mean

                  0.924046         27.06560       5.0221731            18.555556


Source                  DF        Type I SS     Mean Square   F Value     Pr > F

M                        2     779.55555556    389.77777778     15.45     0.0263
X                        1     130.66666667    130.66666667      5.18     0.1073
X*M                      2      10.33333333      5.16666667      0.20     0.8253

Source                  DF      Type III SS     Mean Square   F Value     Pr > F

M                        2     147.84126984     73.92063492      2.93     0.1970
X                        1     130.66666667    130.66666667      5.18     0.1073
X*M                      2      10.33333333      5.16666667      0.20     0.8253