next up previous
Next: About this document ...

Hįskóli Ķslands   Raunvķsindadeild
  09.10.16 Lķnuleg algebra og tölfręši  
Laugardagur 18. įgśst 2001 kl 9-12.
Leyfileg hjįlpargögn: Daušir hlutir. Athugiš aš GSM sķmar eru bannašir į prófstaš og tengingar viš Internetiš einnig. Vęgi dęma er gefiš ķ svigum. Athugiš aš 100 stig teljast full lausn, en alls eru stigin fleiri.

Notiš 5% marktęknikröfu nema annaš sé tekiš fram. Muniš aš taka skżrt fram nślltilgįtur og gagntilgįtur žar sem žaš į viš.

Eftirfarandi fylki $\mathbf{X}$ og vigur $\mathbf{y}$ verša notuš ķ dęmum 1-4:

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 &...
...ay}{r}
1 \\
2 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}



1. (10) Setjiš upp og leysiš normaljöfnur ašhvarfsgreiningarverkefnisins, $\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{b}+\mathbf{e}$.

2. (10) Finniš hornréttan einingargrunn, fyrir spann dįlkvigra $\mathbf{X}$.

3. (5) Hvert er ofanvarp $\mathbf{y}$ į spanniš af dįlkvigrum $\mathbf{X}$?

4. (10) Hver eru eigingildi fylkisins $\mathbf{W}=\mathbf{X}'\mathbf{X}$?

5. (15) Teikniš mynd og nżtiš hana til aš finna žau gildi, $x$ og $y$, sem hįmarka $z= 3x+y$ meš tilliti til

\begin{eqnarray*}
y-3x \leq 2 \\
x+y \leq 2 \\
2x+y \leq 4 \\
x,y\geq 0
\end{eqnarray*}



6. (15) Tekin voru tvö sżni af fiskum. Fyrra sżniš innihélt 25 fiska en af žeim voru 12 kynžroska. Sķšara sżniš var tekiš į mengušu svęši. Ķ žvķ sżni voru 10 af 50 fiskum kynžroska. Žvķ hefur veriš haldiš fram aš žessi tiltekna mengun hafi įhrif ķ žį įtt aš draga śr kynžroska fisksins. Er žessi įlyktun réttlętanleg?

7. (10) Žrķr möguleikar eru gefnir į svari viš hverri spurningu ķ krossaprófi og er gefin einkunnin 1 fyrir rétt svar en 0 fyrir rangt. Tiltekinn nemandi hefur aldrei séš efniš og giskar į öll svör. Alls žarf 40% rétt svör til aš standast prófiš.

(a) Hverjar eru lķkurnar į aš nemandinn nįi prófi meš 10 spurningar?

(b) Hverjar eru lķkurnar į aš nemandinn nįi prófi meš 100 spurningar?

8. (15) Eftirfarandi tafla gefur nišurstöšur męlinga, $y_{im}$ fyrir mismunandi stillingar ($m=1,2,3$) tiltekins tękis. Alls eru fjórar męlingar geršar fyrir hverja stillingu ($i=1,2,3,4$).

$y_{im}$     $m$  
    1 2 3
  1 2 4 2
$i$ 2 5 3 1
  3 2 3 1
  4 6 3 4

Hafa stillingar tękisins marktęk įhrif į męlinišurstöšurnar?

Gefiš er
$m$ 1 2 3
$n_m$ 4 4 4
$\bar y_{.m}$ 3.75 3.25 2.000
$s_m $ 2.062 0.500 1.414

9. (30) Nišurstöšur ($y$) tiltekinna prófana į sjśklingum voru fengnar meš žremur męlitękjum ($m=1,2,3$) og eftir mismunandi marga daga ($x$) ķ mešferš. Prófanirnar felast ķ žvķ aš męla eftirstöšvar tiltekins efnis. Žęr eru geršar į log-kvarša og žvķ er reiknaš meš aš lķnulegt samband gildi viš tķma į žeim kvarša, ž.e. milli $y$ og $x$.

$x$ 1 2 3 1 2 3 1 2 3  
$y$ 8 4 21 10 12 17 8 11 16  
$m$ 1 1 1 2 2 2 3 3 3  

Žessi gögn voru sett inn ķ tölfręšipakka til aš kanna, hvaša atriši hafa įhrif į męlingarnar. Skilgreint var lķkaniš $y=\alpha _m + \beta x +
\gamma _m x + e$, ž.e. lķnulegt fall af $x$ meš breytilegum skuršpunkti og breytilegum hallatölum.

Notaš var SAS-forritiš:

 proc glm;
  classes m;
  model y=m x m*x;
og eru śtkomur sżndar į mešfylgjandi śtprentun.

(a) Hvaš śtskżrir lķkaniš mikinn hluta breytileika męlinganna?

(b) Hver yrši kvašratsumma frįvika ķ lķkaninu $y=\alpha_m + \beta x$?

(c) Skrifa mį lķkaniš žannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha _m + \beta x + \gamma_m x_{i}, \sigma^2 \right)$.

Hvert er reiknaša óvissumatiš, $\hat{\sigma}$?

(d) Er naušsynlegt aš hafa breytilegan skuršpunkt ķ lokalķkaninu?

(e) Mį sleppa $x$ alveg śt śr lķkaninu?

(f) Śtskżrir lķkaniš marktękan hluta breytileikans?

Muniš aš rökstyšja öll svörin meš tilvķsunum ķ tölur og uppsetningu į lķkönum og nślltilgįtum. Athugiš aš finna mį allar tölur, sem leggja žarf til grundvallar, ķ śtkomunnu śr SAS keyrslunni, en aš sjįlfsögšu mį einnig reikna žęr śt töflunni.

                                 The SAS System                                3
                                                21:01 Wednesday, August 15, 2001

                        General Linear Models Procedure

Dependent Variable: Y
                                     Sum of            Mean
Source                  DF          Squares          Square   F Value     Pr > F

Model                    5     920.55555556    184.11111111      7.30     0.0663

Error                    3      75.66666667     25.22222222

Corrected Total          8     996.22222222

                  R-Square             C.V.        Root MSE               Y Mean

                  0.924046         27.06560       5.0221731            18.555556


Source                  DF        Type I SS     Mean Square   F Value     Pr > F

M                        2     779.55555556    389.77777778     15.45     0.0263
X                        1     130.66666667    130.66666667      5.18     0.1073
X*M                      2      10.33333333      5.16666667      0.20     0.8253

Source                  DF      Type III SS     Mean Square   F Value     Pr > F

M                        2     147.84126984     73.92063492      2.93     0.1970
X                        1     130.66666667    130.66666667      5.18     0.1073
X*M                      2      10.33333333      5.16666667      0.20     0.8253



next up previous
Next: About this document ...
Gunnar Stefansson 2001-12-07