Hßskˇli ═slands   RaunvÝsindadeild
  09.10.16 LÝnuleg algebra og t÷lfrŠ­i  
Mi­vikudagur 19. desember 2001 kl 13:30-16:30.
Leyfileg hjßlparg÷gn: Dau­ir hlutir. Athugi­ a­ GSM sÝmar eru banna­ir ß prˇfsta­ og tengingar vi­ Interneti­ einnig. VŠgi dŠma er gefi­ Ý svigum. Athugi­ a­ 100 stig teljast full lausn, en alls eru stigin fleiri.

Noti­ 5% marktŠknikr÷fu nema anna­ sÚ teki­ fram. Muni­ a­ taka skřrt fram n˙lltilgßtur og gagntilgßtur ■ar sem ■a­ ß vi­.

Eftirfarandi fylki X og vigur y ver­a notu­ Ý dŠmum 1 og 2:

\begin{eqnarray*}
\mathbf{X}=
\left[ \begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -2 \\
1 & 2 &...
...
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
3 \\
1 \\
2 \\
0
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}


1. (15) Riti­ fylki­ X sem safn dßlkvigra, $\mathbf{X}=\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots
\mathbf{a_3} \right] $ og finni­ hornrÚttan einingargrunn, fyrir V=sp{a1 , a2 , a3 }.

2. (15) Rita mß y sem summu tveggja vigra, $\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{y}^\perp$ ■ar sem $\hat{\mathbf{y}} \in V$ og $\mathbf{y}^\perp \perp V$. Finni­ vigrana $\hat{\mathbf{y}}$ og $\mathbf{y}^\perp$.

3. (10) Safn mŠlipara gefur fylgnina r=0.9. Finni­ fyrsta megin■ßttinn.

4. (15) Teikni­ mynd og nřti­ hana til a­ finna ■au gildi, x og y, sem hßmarka z= x+2y me­ tilliti til

\begin{eqnarray*}
y-x \leq 1 \\
2x+y \leq 4 \\
x+y \leq 3 \\
x,y\geq 0
\end{eqnarray*}


5. (20) Tilteknar sta­la­ar mŠlingar ß framlei­sluferli v÷ru skila ˙tkomum sem tilsvara ˙tkomum ˇhß­ra normaldreif­ra hendinga me­ vŠntigildi $\mu=4$ og sta­alfrßvik $\sigma=0.5$ ■egar framlei­sluferli­ er Ý lagi. FyrirtŠki­ auglřsir me­altali­ 4 en samkvŠmt al■jˇ­asta­li er vara s÷g­ g÷llu­ ef mŠlingin fer yfir 5.

(a) Hverjar eru lÝkurnar ß a­ fß galla­a v÷ru ■egar framlei­sluferli­ er Ý lagi?

(b) ┌rtak 10 mŠlinga gefur me­altali­ 4.8. Er rÚttlŠtanlegt fyrir neytendasamt÷kin a­ senda inn kv÷rtun um ranga auglřsingu?

(c) Hverjar eru lÝkurnar ß a­ af 10 mŠlingum reynist a.m.k. 2 galla­ar ef framlei­sluferli­ er Ý lagi?

(d) Hverjar eru lÝkurnar ß a­ fß a.m.k. 10 galla­ar af 50 ef framlei­sluferli­ er Ý lagi?

6. (15) Eftirfarandi tafla gefur ni­urst÷­ur mŠlinga, yi fyrir mismunandi hitastig (xi).

i 1 2 3 4 5 6
xi 1 2 3 1 2 3
yi 2 5 6 3 5 5

Er samband milli hitastigs og mŠlinganna?

7. (30) Ger­ var fj÷lvÝ­ a­hvarfsgreining me­ ``proc glm'' Ý SAS til a­ meta samhengi mŠlingarinnar y vi­ ˇhß­u breyturnar x, u, v og w.

Nota­ var SAS-forriti­:

 proc glm;
  model y=x u v w;
og eru ˙tkomur sřndar ß me­fylgjandi ˙tprentun.

Skrifa mß lÝkani­ ■annig: $Y_i \sim n\left ( \alpha + \beta x + \gamma u + \delta v + \zeta w, \sigma^2 \right)$.

(a) Hva­ ˙tskřrir lÝkani­ mikinn hluta breytileika mŠlinganna og hvert er mati­, $\hat\gamma$?

(b) Hver yr­i kva­ratsumma frßvika Ý lÝkaninu $y=\alpha + \beta x$?

(c) Hvert er reikna­a ˇvissumati­, $\hat{\sigma}$?

(d) Mß sleppa x ˙r lÝkaninu?

(e) Mß einfalda lÝkani­ ni­ur Ý $Y_i \sim n\left ( \alpha + \beta x,
\sigma^2 \right)$, ■.e. sleppa u, v og w?

(f) ┌tskřrir lÝkani­ marktŠkan hluta breytileikans?

(g) Hva­ er $\hat{\sigma}_{\hat{\gamma}}$?

Muni­ a­ r÷ksty­ja ÷ll sv÷rin me­ tilvÝsunum Ý t÷lur og uppsetningu ß lÝk÷num og n˙lltilgßtum.

Dependent Variable: y   

                                        Sum of
Source                      DF         Squares     Mean Square    F Value    Pr > F

Model                        4     3384.836788      846.209197    1003.32    <.0001

Error                       15       12.651141        0.843409                     

Corrected Total             19     3397.487929                                     


                 R-Square     Coeff Var      Root MSE        y Mean

                 0.996276      4.000490      0.918373      22.95652


Source                      DF       Type I SS     Mean Square    F Value    Pr > F

x                            1     3360.371765     3360.371765    3984.27    <.0001
u                            1       13.119716       13.119716      15.56    0.0013
v                            1        8.971767        8.971767      10.64    0.0053
w                            1        2.373540        2.373540       2.81    0.1141


Source                      DF     Type III SS     Mean Square    F Value    Pr > F

x                            1     115.3516920     115.3516920     136.77    <.0001
u                            1       0.0000639       0.0000639       0.00    0.9932
v                            1       2.9257102       2.9257102       3.47    0.0822
w                            1       2.3735404       2.3735404       2.81    0.1141


                                           Standard
         Parameter         Estimate           Error    t Value    Pr > |t|

         Intercept      0.664066507      0.94592972       0.70      0.4934
         x              1.755722146      0.15012846      11.69      <.0001
         u              0.003040485      0.34929258       0.01      0.9932
         v              0.055972245      0.03005220       1.86      0.0822
         w              0.013750364      0.00819663       1.68      0.1141