:

Háskóli Íslands Raunvísindadeild

09.10.16 Línuleg algebra og tölfræði

Miðvikudagur 19. desember 2001 kl 13:30-16:30.

Leyfileg hjálpargögn: Dauðir hlutir. Athugið að GSM símar eru bannaðir á prófstað og tengingar við Internetið einnig. Vægi dæma er gefið í svigum. Athugið að 100 stig teljast full lausn, en alls eru stigin fleiri.

Notið 5% marktæknikröfu nema annað sé tekið fram. Munið að taka skýrt fram núlltilgátur og gagntilgátur þar sem það á við.

Eftirfarandi fylki X og vigur y verða notuð í dæmum 1 og 2:

$\begin{eqnarray*} \mathbf{X}= \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 &... ... 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

1. (15) Ritið fylkið X sem safn dálkvigra, $\mathbf{X}=\left[ \mathbf{a_1} \vdots \mathbf{a_2} \vdots \mathbf{a_3} \right]$ og finnið hornréttan einingargrunn, fyrir V=sp{a₁ , a₂ , a₃ }.

2. (15) Rita má y sem summu tveggja vigra, $\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{y}^\perp$ þar sem $\hat{\mathbf{y}} \in V$ og $\mathbf{y}^\perp \perp V$ . Finnið vigrana $\hat{\mathbf{y}}$ og $\mathbf{y}^\perp$ .

3. (10) Safn mælipara gefur fylgnina r=0.9. Finnið fyrsta meginþáttinn.

4. (15) Teiknið mynd og nýtið hana til að finna þau gildi, x og y, sem hámarka z= x+2y með tilliti til

$\begin{eqnarray*} y-x \leq 1 \\ 2x+y \leq 4 \\ x+y \leq 3 \\ x,y\geq 0 \end{eqnarray*}$

5. (20) Tilteknar staðlaðar mælingar á framleiðsluferli vöru skila útkomum sem tilsvara útkomum óháðra normaldreifðra hendinga með væntigildi $\mu=4$ og staðalfrávik $\sigma=0.5$ þegar framleiðsluferlið er í lagi. Fyrirtækið auglýsir meðaltalið 4 en samkvæmt alþjóðastaðli er vara sögð gölluð ef mælingin fer yfir 5.

(a) Hverjar eru líkurnar á að fá gallaða vöru þegar framleiðsluferlið er í lagi?

(b) Úrtak 10 mælinga gefur meðaltalið 4.8. Er réttlætanlegt fyrir neytendasamtökin að senda inn kvörtun um ranga auglýsingu?

(d) Hverjar eru líkurnar á að fá a.m.k. 10 gallaðar af 50 ef framleiðsluferlið er í lagi?

6. (15) Eftirfarandi tafla gefur niðurstöður mælinga, y_i fyrir mismunandi hitastig (x_i).

i 1 2 3 4 5 6

x_i 1 2 3 1 2 3

y_i 2 5 6 3 5 5

Er samband milli hitastigs og mælinganna?

7. (30) Gerð var fjölvíð aðhvarfsgreining með ``proc glm'' í SAS til að meta samhengi mælingarinnar y við óháðu breyturnar x, u, v og w.

Notað var SAS-forritið:

 proc glm;
  model y=x u v w;

og eru útkomur sýndar á meðfylgjandi útprentun.

Skrifa má líkanið þannig: $Y_i \sim n\left ( \alpha + \beta x + \gamma u + \delta v + \zeta w, \sigma^2 \right)$ .

(a) Hvað útskýrir líkanið mikinn hluta breytileika mælinganna og hvert er matið, $\hat\gamma$ ?

(b) Hver yrði kvaðratsumma frávika í líkaninu $y=\alpha + \beta x$ ?

(d) Má sleppa x úr líkaninu?

(e) Má einfalda líkanið niður í $Y_i \sim n\left ( \alpha + \beta x, \sigma^2 \right)$ , þ.e. sleppa u, v og w?

(f) Útskýrir líkanið marktækan hluta breytileikans?

(g) Hvað er $\hat{\sigma}_{\hat{\gamma}}$ ?

Munið að rökstyðja öll svörin með tilvísunum í tölur og uppsetningu á líkönum og núlltilgátum.

Dependent Variable: y   

                                        Sum of
Source                      DF         Squares     Mean Square    F Value    Pr > F

Model                        4     3384.836788      846.209197    1003.32    <.0001

Error                       15       12.651141        0.843409                     

Corrected Total             19     3397.487929                                     


                 R-Square     Coeff Var      Root MSE        y Mean

                 0.996276      4.000490      0.918373      22.95652


Source                      DF       Type I SS     Mean Square    F Value    Pr > F

x                            1     3360.371765     3360.371765    3984.27    <.0001
u                            1       13.119716       13.119716      15.56    0.0013
v                            1        8.971767        8.971767      10.64    0.0053
w                            1        2.373540        2.373540       2.81    0.1141


Source                      DF     Type III SS     Mean Square    F Value    Pr > F

x                            1     115.3516920     115.3516920     136.77    <.0001
u                            1       0.0000639       0.0000639       0.00    0.9932
v                            1       2.9257102       2.9257102       3.47    0.0822
w                            1       2.3735404       2.3735404       2.81    0.1141


                                           Standard
         Parameter         Estimate           Error    t Value    Pr > |t|

         Intercept      0.664066507      0.94592972       0.70      0.4934
         x              1.755722146      0.15012846      11.69      <.0001
         u              0.003040485      0.34929258       0.01      0.9932
         v              0.055972245      0.03005220       1.86      0.0822
         w              0.013750364      0.00819663       1.68      0.1141

Háskóli Íslands		Raunvísindadeild
	09.10.16 Línuleg algebra og tölfræði
Miðvikudagur	19. desember 2001	kl 13:30-16:30.