Nokkrir punktar um leikjafræði

Nokkrir punktar um leikjafræði

Tekið saman vegna kennslu í námskeiðinu Hagfræði 1C haustið 1996

af Gylfa Magnússyni Hagfræðistofnun Háskóla Íslands


Vandamál fangans

Hænsnaslagur

Samtímaleikir og raðleikir

Leikáætlanir

Víkjandi og ríkjandi leikáætlanir

Tengsl við viðskipti

Samningar

Leikjafræði (Game Theory) er ein af stoðgreinum hagfræðinnar. Leikjafræði er notuð til að greina ákvarðanir einstaklinga sem eru þátttakendur í einhvers konar keppni. Keppninni er yfirleitt lýst með því að tilgreina annars vegar leikreglurnar og hins vegar því hver útkoman verður miðað við allar hugsanlegar samsetningar af ákvörðunum.

Dæmi: Vandamál fangans (Prisoner's Dilemma)

Biggi og Bói eru tveir smákrimmar sem voru handteknir grunaðir um innbrot. Þeir eru nú í gæsluvarðhaldi í sitt hvorum klefanum. Saksóknari hefur ekki nægar sannanir til að fá þá sakfellda fyrir innbrotið nema a.m.k. annar þeirra játi en getur hins vegar fengið þá dæmda fyrir ýmislegt annað smálegt þótt þeir báðir neiti. Ef báðir eru þögulir sem gröfin verður hægt að fá þá báða dæmda í 3 mánaða fangelsi en ef þeir eru fundnir sekir um innbrot er hægt að fá þá dæmda í 6 mánaða fangelsi. Saksóknari heimsækir þá báða, sitt í hvoru lagi, og gerir eftirfarandi tilboð: ,,Ef þú játar á ykkur innbrotið en félagi þinn þegir þá skal ég sjá til þess að þú sleppir með væga refsingu, 2 mánaða fangelsi. Ef þið báðir játið á ykkur innbrotið þá skal ég bara krefjast 5 mánaða fangelsisvistar en ef félagi þinn játar en þú ekki mun ég beita fullri hörku og krefjast 6 mánaða fangelsisvistar fyrir þig."

Þessum ,,leik" má lýsa með eftirfarandi töflu:

Mynd vantar

Tölurnar í töflunni gefa til kynna notagildi þátttakendanna miðað við mismunandi ákvarðanir. Fyrri talan í hverjum reit táknar útkomuna fyrir Bóa, sú síðari útkomuna fyrir Bigga. Takið eftir því að ákvörðun Bigga hefur áhrif á útkomu Bóa og öfugt. Ef það væri ekki tilfellið þá þyrfti ekki leikjafræði til að greina þetta vandamál.

Hægt er að sjá að sama hvað Biggi gerir þá borgar sig fyrir Bóa að játa. Notagildi Bóa verður alltaf einum hærra ef hann játar en ef hann þegir. Á sama hátt borgar sig alltaf fyrir Bigga að játa, sama hvað Bói gerir. Útkoman ætti því að vera að báðir játa og fá 5 mánaða fangelsi þótt það væri betra fyrir báða að þegja og uppskera 3 mánaða fangelsi.

Dæmi: Hænsnaslagur (Chicken)

Tveir félagslega vanþroska karlmenn keyra eftir vegi einum og nálgast hvor annan sitt úr hvorri áttinni á ofsahraða. Félagar þeirra, sem einnig eru félagslega vanþroska, horfa á. Mennirnir keyra báðir á miðjum veginum. Sá sem víkur fyrst er útnefndur hænsn og færist neðst í goggunarröð hópsins. Ef báðir víkja þá eru þeir báðir útnefndir hænsn en það er þó skömminni skárra en að vera sá eini sem víkur. Ef hvorugur víkur þá lenda bílarnir í hörðum árekstri sem er jafnvel enn verra en að verða útnefndur hænsn.

Mynd vantar

Í þessum leik er ekki hægt að finna neina augljósa lausn. Það borgar sig nefnilega fyrir Heimskan að víkja ekki ef Vitlaus ætlar að víkja en það borgar sig fyrir Heimskan að víkja ef Vitlaus ætlar ekki að víkja. Á sama hátt borgar sig fyrir Vitlausan að víkja ef Heimskur ætlar ekki að víkja en borgar sig fyrir Vitlausan að víkja ekki ef Heimskur ætlar að víkja. Þeir munu því báðir leggja sig fram um að sannfæra hinn um að þeir munu ekki víkja. Tala digurbarkalega og reyna að virðast í fyrsta lagi alveg ákveðnir í því að víkja ekki og í öðru lagi alveg hundvissir um að andstæðingurinn muni víkja. Ástæðan fyrir því að þeir munu báðir reyna að sannfæra andstæðinginn um að þeir haldi að hann muni víkja er að það gefur þeim ástæðu til að víkja ekki og þar með andstæðingnum ástæðu til að víkja.

Allra best væri fyrir annan þeirra, t.d. Heimskan, að gera sjálfum sér ómögulegt að víkja með því til dæmis að binda stýrið fast. Ef það er raunin veit Vitlaus að það er betra fyrir hann að víkja og hann mun því víkja og Heimskur geta baðað sig í aðdáun vinahópsins.

Samtímaleikir og raðleikir

Hægt er að skipta leikjum í tvo flokka eftir því hvort þátttakendur taka ákvarðanir samtímis eða hver á fætur öðrum. Fyrri tegundin er kölluð samtímaleikir (Simultaneous Games) en sú síðari raðleikir (Sequential Games, Games of Perfect Information). Leikirnir hér að ofan teljast til samtímaleikja en slíkjum leikjum er oft þægilegt að lýsa á þennan hátt, þ.e. með fylkjum sem sýna útkomuna miðað við mismunandi ákvarðanir. Raðleikjum er oft hægt að lýsa með eins konar tré:

Mynd vantar

Í leiknum hér að ofan á leikmaður númer eitt fyrsta leik og getur annað hvort farið upp (U) eða niður (N). Þegar númer eitt hefur leikið á númer tvö leik og hann getur annað hvort farið upp (u) eða niður (n). Svona leikur er leystur með því að rekja sig aftur á bak í gegnum leikinn (Backwards Induction). Þ.e. við byrjum á því að skoða bestu leiki þess sem síðast leikur, svo þess sem leikur næstsíðast og þannig koll af kolli. Í þessu tilfelli sjáum við að ef leikmaður eitt hefur valið U þá hefur leikmaður tvö val á milli þess að fá 5 eða 2. Hann mun að sjálfsögðu velja u sem gefur honum 5 (og þá fær númer eitt einnig 5). Ef númer eitt hefur valið N þá hefur númer tvö val á milli þess að fá 3 og 4. Hann mun velja n sem gefur honum 4 (og númer eitt fær þá 1). Þegar við höfum greint val númer tvö er einfalt að leysa málið fyrir númer eitt, hann sér að ef hann velur U þá mun númer tvö velja u og númer eitt því fá 5. Ef númer eitt velur N þá mun tvö velja n og númer eitt fá 1. Númer eitt hefur því val á milli 5 og 1 og hann mun velja U sem gefur honum 5.

Leikáætlanir

Ákvarðanir þær sem hægt er að velja á milli eru kallar leikáætlanir (Strategy). Í fyrstu tveimur leikjunum sem lýst var hefur hvor leikandi um sig kost á tveimur leikáætlunum (játa/játa ekki í fyrra tilfellinu, víkja/víkja ekki í því síðara). Í þriðja leiknum hefur leikmaður númer eitt um tvær leikáætlanir að velja (U/N) en leikmaður númer tvö hefur um fjórar að velja:

i)    u ef númer eitt velur U en n ef eitt velur N.
ii)   u ef númer eitt velur U og n ef eitt velur N.
iii)  n ef númer eitt velur U og n ef eitt velur N.
iv)   n ef númer eitt velur U en u ef eitt velur N.

Víkjandi og ríkjandi leikáætlanir

Við segjum að leikáætlun A sé víkjandi (Dominated Strategy) ef til er a.m.k. ein önnur leikáætlun sem er alltaf betri en A, sama hvað andstæðingarnir gera. Í vandamáli fangans var það að játa ekki víkjandi leikáætlun.

Við segjum að leikáætlun A sé ríkjandi (Dominating Strategy) ef hún er alltaf betri en allar aðrar leikáætlanir, sama hvað andstæðingarnir gera. Í vandamáli fangans var það að játa ríkjandi leikáætlun.

Ein leið til að finna lausn á leikjum er að leita að víkjandi og ríkjandi leikáætlunum, útiloka þær fyrrnefndu en velja þær síðarnefndu. Ef aðeins ein leikáætlun stendur eftir fyrir hvern þátttakanda að því loknu þá höfum við fundið lausn leiksins.

Með lausn eigum við yfirleitt við svokallað Nash-jafnvægi (Nash-Equilibrium): Sérhver þátttakandi hefur valið þá leikáætlun sem kemur honum best í ljósi þess hvaða leikáætlanir hinir þátttakendurnir hafa valið.

Tengsl við viðskipti

Leikjafræði kemur víða að gagni í rekstrarhagfræði. Til dæmis við það að greina hegðun fyrirtækja í fákeppni. Þegar fá fyrirtæki keppa á einhverjum markaði þá munu þau taka tillit til þess að ákvarðanir þeirra hafa áhrif á ákvarðanir keppinautanna. Fleiri dæmi mætti nefna, t.d. samningaþóf vinnuveitenda og launþega.

Dæmi:

Tvær matvöruverslanir keppa um viðskipti í kaupstað einum. Hvor hefur um tvær leikáætlanir að ræða, lágt verð eða hátt verð. Ef önnur velur hátt verð en hin lágt þá mun sú með lága verðið ná til sín nær öllum viðskiptunum og hagnast talsvert en hin selja lítið sem ekkert og hagnast ekkert. Ef báðar velja lágt verð þá skipta þær viðskiptunum á milli sín og hagnast lítið. Ef báðar velja hátt verð skipta þær viðskiptunum á milli sín og hagnast báðar mikið:

Mynd vantar

Miðað við þær tölur sem gefnar hafa verið upp er lágt verð ríkjandi leikáætlun (og hátt verð víkjandi leikáætlun). Það ætti því að verða útkoman að þær velja báðar lágt verð.

Ef við tökum tillit til þess að búðirnar eiga sennilega eftir að keppa við hvora aðra árum saman er þó meira en líklegt að þær sjái að þetta er ekki skynsamlegt því að báðar hagnast meira ef þær hafa samráð um hátt verð. Það kann því að vera að ef svona leikur er aðeins leikinn einu sinni þá verði útkoman að báðir velji lágt verð en ef leikurinn er endurtekinn margoft (Repeated Game) þá verði útkoman samráð (Collusion).

Dæmi:

Í þorpi einu er ein matvöruverslun og hefur hún sett upp hátt verð og hagnast vel vegna skorts á samkeppni. Nú er annar kaupmaður að íhuga að setja upp verslun í þorpinu. Gamla verslunin (G) hefur um tvær leikáætlanir að ræða ef nýja verslunin (N) hefur rekstur: Verðstríð eða ekki verðstríð. Ef hún fer út í verðstríð verður tap á báðum verslununum, ef hún fer ekki út í verðstríð verður hagnaður af báðum verslununum en minni hagnaður en ef gamla verslunin situr ein að markaðinum:

Mynd vantar

Við sjáum að það borgar sig ekki að fara út í verðstríð. Gamla verslunin getur því ekki hindrað að nýja verslunin hefji rekstur. Það er hins vegar augljóst að gamla verslunin mun reyna að sannfæra alla um að hún muni fara í verðstríð en ekki láta verða af því þegar á hólminn er komið.

Samningar:

Til eru margs konar líkön í leikjafræði sem nota má til að lýsa niðurstöðum samninga. Hér gefst ekki tóm til að útskýra nema mjög einföld líkön en það má þó nota þau til að lýsa áhrifum t.d. mismunandi þolinmæði samningamanna.

Dæmi:

Gerum ráð fyrir að Ari og Björn séu að semja um skiptingu á köku einni. Kakan er orðin fremur aldurhnigin og þess vegna hafa þeir ekki tíma til að standa í löngu þófi. Kakan hefur verið skorin niður í tíu sneiðar en kökuhnífurinn er týndur svo að það er ekki hægt að skipta kökunni í smærri hluta. Þeir semja með bréfaskriftum og tekur tvo daga að senda tilboð og samþykki eða synjun á tilboðinu. Þeir geta því í fyrsta lagi snúið sér að því að snæða kökuna eftir tvo daga, ef fyrsta tilboðið er samþykkt, en það er tilboð Ara. Ef það er fellt, fær Björn að gera Ara tilboð og ef það er samþykkt snæða þeir kökuna eftir fjóra daga en þá er hún orðin svo gömul að hún er þriðjungi minna virði fyrir þá en eftir tvo daga. Kakan er einskis virði (óæt) eftir meira en fjóra daga.

Við leysum þetta með því að rekja okkur aftur á bak í gegnum leikinn.

i) Byrjum þar sem kakan er einskis virði, þ.e. eftir meira en fjóra daga. Þá hefur hvorugur þeirra neitt gagn af kökunni.

ii) Lítum næst á ástandið þegar Björn er að íhuga hvaða tilboð hann á að gera Ara. Björn veit að Ari veit að ef Ari synjar tilboði Björns fær Ari enga köku (sbr. i). Björn þarf því einungis að bjóða Ara eina sneið til að tryggja samþykki Ara. Ef Ara er boðin ein sneið eru valkostir hans að samþykkja og fá eina sneið eða að hafna og fá enga sneið. Hann mun því samþykkja. Það borgar sig ekki fyrir Björn að bjóða Ara meira en eina sneið. Skiptingin verður því (Ari = 1, Björn = 9).

iii) Lítum nú á ástandið í upphafi, þegar Ari er að íhuga hvaða tilboð hann á að gera Birni. Ari veit að Björn veit að ef hann synjar tilboði Ara þá fær Björn níu sneiðar en verður að bíða í tvo daga í viðbót með að borða þær svo að þær eru í raun bara jafnmikils virði og sex sneiðar (9x2/3 = 6) ef ekki þarf að bíða aukalega. Til að tryggja stuðning Björns þarf Ari því að bjóða honum sjö sneiðar en halda sjálfur eftir þremur. Það borgar sig fyrir Björn að samþykkja því að ef hann synjar þá fær hann bara jafnvirði sex sneiða. Það borgar sig ekki fyrir Ara að bjóða Birni meira en sjö sneiðar. Skiptingin verður því (Ari = 3, Björn = 7).

Veitið því athygli að því sem er lýst í i) og ii) gerist aldrei. Leiknum lýkur með því að Björn samþykkir fyrsta tilboð Ara.

Dæmi:

Ef við breytum aðeins reglunum hér að ofan svo að kakan er einhvers virði eftir sex daga eða þriðjungs af upprunalegu verðmæti en einskis virði eftir það þá breytist útkoman. Nú getur Ari gert aftur tilboð ef til þess kemur að Björn gerir tilboð og Ari hafnar því.

i) Eftir meira en sex daga er kakan einskis virði

ii) Ari þarf einungis að bjóða Birni eina sneið ef hann er að gera sitt síðara tilboð (Ari = 9, Björn = 1)

iii) Þar eð kakan er helmingi minna virði eftir sex daga en fjóra daga (1/3 er helmingi minna en 2/3) þarf Björn að bjóða Ara meira en 9/2 eða a.m.k. 5 sneiðar til að hann samþykki tilboð Björns. (Ari = 5, Björn = 5)

iv) Ari veit að Björn getur tryggt sér 5 sneiðar ef hann fellir fyrsta tilboð Ara en þessar sneiðar eru einungis jafnmikils virði og 5x2/3 eða 3 og 1/3 úr sneið ef ekki þarf að bíða í tvo daga í viðbót. Til að tryggja samþykki Björns mun Ari því bjóða honum fjórar sneiðar en halda sjálfur eftir sex. (Ari = 6, Björn = 4).

Dæmi:

Í báðum dæmunum hér að ofan hafa Ari og Björn verið jafnþolinmóðir. Gerum nú ráð fyrir að Björn hafi allt öðru vísi bragðlauka en Ari og finnist hreint ekkert verra að kökur séu orðnar svolítið þurrar og bragðlausar. Ara finnst eins og í upprunalega dæminu kakan vera þriðjungi minna virði eftir fjóra daga en tvo og einskis virði eftir meira en fjóra daga.

i) Ef kakan er meira en fjögurra daga gömul hefur Ari engan áhuga á henni og Björn fær hana alla. (Ari = 0, Björn = 10)

ii) Ef það kemur að Birni að gera tilboð þá veit hann að ef hann bíður í tvo daga í viðbót fær hann alla kökuna. Það borgar sig því ekki fyrir hann að hafa neinar áhyggjur af því hvort Ari samþykkir tilboð hans eða ekki. (Ari = 0, Björn = 10)

iii) Ari veit að Björn getur tryggt sér alla kökuna með því að bíða nógu lengi. Það er því ekkert sem Ari getur gert til að fá Björn til að samþykkja að fá eitthvað minna en alla kökuna og allt eins gott fyrir Ara að vera ekkert að standa í þessum bréfaskriftum og bjóða Birni bara alla kökuna strax. (Ari = 0, Björn = 10)

Yfirleitt er ekki um það að ræða að menn falli á tíma eins og hér að ofan. Það er, samningaviðræður geta strangt til tekið haldið áfram endalaust ef ekki næst samkomulag. Þannig leiki er ekki hægt að leysa með því að rekja sig aftur frá lokatímabilinu en það er hægt í sumum tilfellum að leysa þá með öðrum aðferðum.

Veitið því athygli að í leikjunum hér að ofan náðist alltaf samkomulag um fyrsta tilboðið sem gert var. Þetta gerist auðvitað ekki alltaf í raunveruleikanum og á stundum dragast samningaviðræður mjög á langinn, t.d. á milli launþega og atvinnurekenda. Það er jafnframt ljóst að slíku samningaþófi getur fylgt mikill kostnaður fyrir báða aðila, t.d. ef farið er í verkfall. Það er hægt að styðjast við leikjafræði til að lýsa slíkum samningum en þá er yfirleitt gert ráð fyrir að það ríki mikil óvissa um það hve þolinmóðir viðsemjendur eru, t.d. hve lengi verkamenn geta haldið úti launalausir í verkfalli og hve miklu fyrirtæki er til í að tapa á meðan framleiðsla þess liggur niðri. Ef það er raunin getur útkoman auðveldlega orðið langvinnt þóf þar sem báðir viðsemjendur eru að reyna að sannfæra hinn um að þeir muni halda lengur út.